Exercício 9. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 1 a 3) Seja
e
uma transformação linear.
Calcule
para
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional
da função
definida por
da função
definida por
onde
é linear e
é o produto interno usual. Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional e a bilinearidade do produto interno.
Passo 2
Pela definição,
Primeiro expandimos
usando a linearidade de
e a bilinearidade e simetria de
.
Passo 3
Então o quociente de diferenças é
Passo 4
Fazendo
, o termo com
some, e obtemos
Como alternativa, usando simetria do produto interno, isso equivale a