Exercício 9. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 1 a 3) Seja f: R^n R, x in R^n, v in R^n, a in R^n e T: R^n R^n uma transformação linear.
Calcule partial fpartial v(x) para f(x)=lang<= T x, xrang<=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional
partial fpartial v(x)
da função
,f:R^ntoR
definida por
f(x)=lang<= T x, xrang<=,
onde T é linear e lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno usual. Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional e a bilinearidade do produto interno.

Passo 2

Pela definição,
partial fpartial v(x) =limtto0f(x+tv)-f(x)t
Primeiro expandimos
f(x+tv) =lang<= T(x+tv),,x+tvrang<= =lang<= T x, xrang<= +tlang<= T x,vrang<= +tlang<= T v,xrang<= +t^2lang<= T v,vrang<=,
usando a linearidade de T e a bilinearidade e simetria de lang<=cdot,cdotrang<=.

Passo 3

Então o quociente de diferenças é
f(x+tv)-f(x)t =lang<= T x,vrang<=+lang<= T v,xrang<= +t,lang<= T v,vrang<=

Passo 4

Fazendo tto0, o termo com t some, e obtemos
partial fpartial v(x) =lang<= T x,vrang<=+lang<= T v,xrang<=
Como alternativa, usando simetria do produto interno, isso equivale a
lang<= (T+T^T)x,;vrang<=

Resposta

partial fpartial v(x) =lang<= T x, vrang<= + lang<= T v, xrang<= =lang<= (T+T^T)x,;vrang<=

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