Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 0[cotg(x)]^1ln (x)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
limxto0^+l[cotg(x)r]^1ln(x)
ou seja, é um limite do tipo f(x)^g(x). Para resolver, vamos usar a transformação
f(x)^g(x) = expl(g(x)ln(f(x))r)
e depois aplicar o Teorema de L’Hospital no expoente.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+l[cotg(x)r]^1ln(x) =exp!l(limxto0^+lnl(cotg(x)r)ln(x)r)
Resta, portanto, calcular o limite
A = limxto0^+lnl(cotg(x)r)ln(x)

Passo 3

Note que, ao aproximar xto0^+, temos
lnl(cotg(x)r)to+infty e ln(x)to-infty, caracterizando uma indeterminação do tipo tfracinfty-infty, que podemos tratar com L’Hospital. Derivando numerador e denominador:
– Numerador:
ddxl[lnl(cotg(x)r)r] =1cotg(x)cdotl(-csc^2(x)r) =-csc^2(x)cotg(x) =-1sin(x)cos(x) =-2sin(2x)
– Denominador:
ddxl[ln(x)r]=1x
Assim, por L’Hospital,
A = limxto0^+lnl(cotg(x)r)ln(x) =limxto0^+-tfrac2sin(2x)tfrac1x =limxto0^+l(-2xcdot1sin(2x)r) =-1,
pois sin(2x)sim2x quando xto0.

Passo 4

Voltando ao valor original,
L = expl(Ar)=exp(-1)=1e

Resposta

1e

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