Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
1 <= x <= 2,3 <= y <= 4.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid 1 <= x <= 2,;3 <= y <= 4,
que é exatamente o retângulo fechado com vértices em (1,3), (2,3), (2,4), (1,4). O conteúdo de matéria é topologia em R^n, mais precisamente a caracterização de conjuntos abertos e conjuntos fechados. Vamos usar as definições padrão:
  1. Um conjunto é aberto se todo ponto interior admite uma vizinhança (bola) contida inteiramente no conjunto.
  2. Um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto (ou, equivalentemente, se ele contém todos os seus pontos de fronteira).

Passo 2

Mostramos que S não é aberto.
Pense em um ponto qualquer do contorno de S, por exemplo (1,y) com 3<= y<=4. Se pegarmos qualquer bola aberta centrada em (1,y), parte dessa bola invade valores de x<1, que não pertencem a S. Logo não existe raio varepsilon>0 tal que a bola Bvarepsilon((1,y))subset S. O mesmo vale para qualquer ponto numa aresta ou num vértice: sempre “vaza” para fora do retângulo. Portanto S não satisfaz a definição de aberto.

Passo 3

Mostramos que S é fechado.
Note que
S = (x,y)mid 1<= x<=2,cap,(x,y)mid 3<= y<=4
Cada conjunto do tipo (x,y)mid a<= x<= b é a interseção de dois semiespaços fechados
x>= a e x<= b, que são fechados em R^2. Analogamente para as restrições em y. Como interseção de conjuntos fechados é sempre fechada, S é fechado.

Passo 4

Alternativa pela complementaridade:
O complemento de S em R^2 é
R^2setminus S =x<1cupx>2cupy<3cupy>4,
e cada uma das quatro peças acima é aberta em R^2. A união de abertas é aberta, logo R^2setminus S é aberto, o que confirma que S é fechado.

Resposta

O conjunto S é fechado e não é aberto.

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