Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
que é exatamente o retângulo fechado com vértices em
,
,
,
. O conteúdo de matéria é topologia em
, mais precisamente a caracterização de conjuntos abertos e conjuntos fechados. Vamos usar as definições padrão:
- Um conjunto é aberto se todo ponto interior admite uma vizinhança (bola) contida inteiramente no conjunto.
- Um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto (ou, equivalentemente, se ele contém todos os seus pontos de fronteira).
Passo 2
Mostramos que
não é aberto.
Pense em um ponto qualquer do contorno de , por exemplo
com
. Se pegarmos qualquer bola aberta centrada em
, parte dessa bola invade valores de
, que não pertencem a
. Logo não existe raio
tal que a bola
. O mesmo vale para qualquer ponto numa aresta ou num vértice: sempre “vaza” para fora do retângulo. Portanto
não satisfaz a definição de aberto.
Pense em um ponto qualquer do contorno de
Passo 3
Mostramos que
é fechado.
Note que
Note que
Cada conjunto do tipo
é a interseção de dois semiespaços fechados
e
, que são fechados em
. Analogamente para as restrições em
. Como interseção de conjuntos fechados é sempre fechada,
é fechado.
Passo 4
Alternativa pela complementaridade:
O complemento de em
é
O complemento de
e cada uma das quatro peças acima é aberta em
. A união de abertas é aberta, logo
é aberto, o que confirma que
é fechado.
Resposta
O conjunto
é fechado e não é aberto.