Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
Vamos usar conceitos de topologia em
:
– Um conjunto é aberto se todo ponto dele é interior, isto é, se em cada ponto há uma bola (disco) de pequeno raio inteiramente contida no conjunto.
– Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou seja, se sua complementar é aberto).
– Um conjunto é aberto se todo ponto dele é interior, isto é, se em cada ponto há uma bola (disco) de pequeno raio inteiramente contida no conjunto.
– Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou seja, se sua complementar é aberto).
Passo 2
Verificação de que
não é aberto:
– Observe pontos de fronteira como . Qualquer disco centrado em
de raio
ultrapassa a reta
, caindo em pontos com
, que não pertencem a
.
– Logo nem todos os pontos de têm entorno totalmente contido em
. Portanto,
não satisfaz a definição de aberto.
– Observe pontos de fronteira como
– Logo nem todos os pontos de
Passo 3
Verificação de que
não é fechado:
– Considere a sequência de pontos em dados por
.
– Esses pontos aproximam-se de , que é ponto-limite de
.
– Contudo, porque em
exige-se
.
– Logo não contém todos os seus pontos-limite e, portanto, não é fechado.
– Considere a sequência de pontos em
– Esses pontos aproximam-se de
– Contudo,
– Logo