Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
1 <= x <= 2,3 <= y<4.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid 1 <= x <= 2,;3 <= y < 4
Vamos usar conceitos de topologia em R^2:
– Um conjunto é aberto se todo ponto dele é interior, isto é, se em cada ponto há uma bola (disco) de pequeno raio inteiramente contida no conjunto.
– Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou seja, se sua complementar é aberto).

Passo 2

Verificação de que S não é aberto:
– Observe pontos de fronteira como (1,3.5)in S. Qualquer disco centrado em (1,3.5) de raio varepsilon>0 ultrapassa a reta x=1, caindo em pontos com x<1, que não pertencem a S.
– Logo nem todos os pontos de S têm entorno totalmente contido em S. Portanto, S não satisfaz a definição de aberto.

Passo 3

Verificação de que S não é fechado:
– Considere a sequência de pontos em S dados por l(xn,ynr) = l(1,5,,3 + (1-1/n)r).
– Esses pontos aproximam-se de l(1,5,4r), que é ponto-limite de S.
– Contudo, l(1,5,4r)notin S porque em S exige-se y<4.
– Logo S não contém todos os seus pontos-limite e, portanto, não é fechado.

Resposta

S não é nem aberto nem fechado.

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