Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
y=x^2.

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y)inR^2 mid y = x^2,
ou seja, S é o gráfico da parábola y=x^2 no plano. Pedem para verificar se S é aberto, fechado, ambos ou nenhum, usando argumentos geométricos e topológicos básicos em R^2.

Passo 2

Para mostrar que S é fechado, considere a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=y - x^2
Como f é polinomial, ela é contínua. Note que
S = f^-1(0)
Como 0 é um conjunto fechado em R e a imagem inversa de um fechado por função contínua é fechada, concluímos que S é fechado em R^2.

Passo 3

Para ver que S não é aberto, basta observar que qualquer bola aberta centrada em um ponto de S contém pontos que não satisfazem y=x^2. De fato, seja (a,a^2)in S e seja r>0. Considere o ponto
l(a,;a^2 + tfracr2r)
A distância até (a,a^2) é
raiz(a-a)^2 + l(a^2 + tfracr2 - a^2r)^2 = tfracr2 < r,
logo esse ponto está na bola de raio r em torno de (a,a^2), mas não pertence a S pois sua segunda coordenada não é igual ao quadrado da primeira. Assim, nenhuma bola aberta em R^2 fica inteiramente dentro de S, ou seja, S não é aberto.

Resposta

S é fechado e não é aberto.

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