Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
.
Passo 1
O enunciado define
ou seja,
é o gráfico da parábola
no plano. Pedem para verificar se
é aberto, fechado, ambos ou nenhum, usando argumentos geométricos e topológicos básicos em
.
Passo 2
Para mostrar que
é fechado, considere a função
Como
é polinomial, ela é contínua. Note que
Como
é um conjunto fechado em
e a imagem inversa de um fechado por função contínua é fechada, concluímos que
é fechado em
.
Passo 3
Para ver que
não é aberto, basta observar que qualquer bola aberta centrada em um ponto de
contém pontos que não satisfazem
. De fato, seja
e seja
. Considere o ponto
A distância até
é
logo esse ponto está na bola de raio
em torno de
, mas não pertence a
pois sua segunda coordenada não é igual ao quadrado da primeira. Assim, nenhuma bola aberta em
fica inteiramente dentro de
, ou seja,
não é aberto.