Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
y >= x^2.

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y)inR^2 mid y >= x^2
O conteúdo aqui é topologia em R^2: queremos saber se S é aberto, fechado ou nenhum dos dois. Para isso vamos usar a definição de aberto (todo ponto de S deve possuir uma bola em R^2 inteiramente contida em S) e de fechado (complemento é aberto ou, equivalentemente, S é preimagem de conjunto fechado por função contínua).

Passo 2

Mostramos que S não é aberto. Tome um ponto qualquer da fronteira, ou seja, um (x0,y0) com y0 = x0^2. Se considerarmos qualquer bola aberta de raio varepsilon>0 centrada em (x0,y0), haverá pontos dentro dessa bola com segunda coordenada menor que x^2, pois basta descer um pouco no eixo y. Logo nenhuma bola em torno de (x0,x0^2) fica inteiramente em S. Assim S não pode ser aberto.

Passo 3

Mostramos que S é fechado usando uma função contínua. Defina
fcolonR^2toR, f(x,y)=y - x^2
Como f é polinomial, ela é contínua. Observe que
S = f^-1([0,infty)),
e [0,infty) é fechado em R. A preimagem de conjunto fechado por função contínua é fechada, logo S é fechado.

Resposta

S é fechado e não é aberto.

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