Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
.
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo aqui é topologia em
: queremos saber se
é aberto, fechado ou nenhum dos dois. Para isso vamos usar a definição de aberto (todo ponto de
deve possuir uma bola em
inteiramente contida em
) e de fechado (complemento é aberto ou, equivalentemente,
é preimagem de conjunto fechado por função contínua).
Passo 2
Mostramos que
não é aberto. Tome um ponto qualquer da fronteira, ou seja, um
com
. Se considerarmos qualquer bola aberta de raio
centrada em
, haverá pontos dentro dessa bola com segunda coordenada menor que
, pois basta descer um pouco no eixo
. Logo nenhuma bola em torno de
fica inteiramente em
. Assim
não pode ser aberto.
Passo 3
Mostramos que
é fechado usando uma função contínua. Defina
Como
é polinomial, ela é contínua. Observe que
e
é fechado em
. A preimagem de conjunto fechado por função contínua é fechada, logo
é fechado.