Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
1<x^2+y^2 <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid 1 < x^2 + y^2 <= 2
e decidir se S é aberto, fechado ou nenhum dos dois, usando um argumento geométrico. O tema é topologia em R^2, isto é, entender as fronteiras de S e aplicar as definições de conjunto aberto e fechado.

Passo 2

Geométricamente, x^2+y^2=r^2 define círculos de raio r. A condição 1<r^2<=2 significa que S é a região anelar situada entre o círculo de raio 1 (não incluído) e o círculo de raio raiz2 (incluído). Em outras palavras, o limite interno r=1 está excluído e o limite externo r=raiz2 está incluído.

Passo 3

Recordando definições:
S é aberto se, para todo ponto pin S, existe varepsilon>0 tal que a bola aberta B(p,varepsilon) está inteiramente contida em S.
S é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou, equivalentemente, se seu complementar é aberto).

Passo 4

Para ver que S não é aberto, basta notar um ponto p na fronteira externa em que x^2+y^2=2. Como pin S, mas qualquer bola B(p,varepsilon) contém pontos com x^2+y^2>2 (que não pertencem a S), não existe varepsilon que mantenha B(p,varepsilon)subset S. Logo, S falha em ser aberto.

Passo 5

Para ver que S não é fechado, considere uma sequência de pontos (xn,yn) com raio rn=raiz1+1/n. Então 1<rn^2<=2 e (xn,yn)in S, mas rnto1 faz com que o limite tenha x^2+y^2=1, ponto esse que não está em S. Assim S não contém todos os seus pontos-limite e, portanto, não é fechado.

Resposta

O conjunto S não é nem aberto nem fechado.

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