Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar o conjunto
e decidir se
é aberto, fechado ou nenhum dos dois, usando um argumento geométrico. O tema é topologia em
, isto é, entender as fronteiras de
e aplicar as definições de conjunto aberto e fechado.
Passo 2
Geométricamente,
define círculos de raio
. A condição
significa que
é a região anelar situada entre o círculo de raio
(não incluído) e o círculo de raio
(incluído). Em outras palavras, o limite interno
está excluído e o limite externo
está incluído.
Passo 3
Recordando definições:
– é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que a bola aberta
está inteiramente contida em
.
– é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou, equivalentemente, se seu complementar é aberto).
–
–
Passo 4
Para ver que
não é aberto, basta notar um ponto
na fronteira externa em que
. Como
, mas qualquer bola
contém pontos com
(que não pertencem a
), não existe
que mantenha
. Logo,
falha em ser aberto.
Passo 5
Para ver que
não é fechado, considere uma sequência de pontos
com raio
. Então
e
, mas
faz com que o limite tenha
, ponto esse que não está em
. Assim
não contém todos os seus pontos-limite e, portanto, não é fechado.
Resposta
O conjunto
não é nem aberto nem fechado.