Um fazendeiro deseja cercar um lote retangular de
. Deseja também construir duas cercas divisórias internas, paralelas a dois dos lados da cerca externa. Qual é o comprimento total mínimo da cerca que o projeto exige?
Passo 1
O enunciado pede para cercar um lote retangular de área
,m
e ainda colocar duas cercas internas paralelas a um par de lados externos. É um problema de otimização com restrição de área onde vamos definir variáveis para os lados do retângulo e montar a função do perímetro total a ser minimizado.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo, de modo que
Supondo que as duas cercas internas sejam paralelas ao lado de comprimento
, teremos no total:
– Cerca externa:
– Duas cercas internas de comprimento cada:
Logo o comprimento total é
– Cerca externa:
– Duas cercas internas de comprimento
Logo o comprimento total é
Passo 3
Usando a restrição
, obtemos
Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 4
Com
,m achamos
Substituindo em
:
Passo 5
Se as cercas internas fossem paralelas ao lado de comprimento
, repetiríamos o raciocínio (trocando papéis de
e
) e encontraríamos o mesmo valor mínimo de
,m, por simetria do problema.
Resposta
O comprimento total mínimo da cerca é de
metros.