Um fazendeiro deseja cercar um lote retangular de 1800 m^2. Deseja também construir duas cercas divisórias internas, paralelas a dois dos lados da cerca externa. Qual é o comprimento total mínimo da cerca que o projeto exige?

Passo 1

O enunciado pede para cercar um lote retangular de área 1800,m ^2 e ainda colocar duas cercas internas paralelas a um par de lados externos. É um problema de otimização com restrição de área onde vamos definir variáveis para os lados do retângulo e montar a função do perímetro total a ser minimizado.

Passo 2

Sejam L e W os comprimentos dos lados do retângulo, de modo que
L,W = 1800
Supondo que as duas cercas internas sejam paralelas ao lado de comprimento L, teremos no total:
– Cerca externa: 2L + 2W
– Duas cercas internas de comprimento L cada: 2L
Logo o comprimento total é
P(L,W) = 4L + 2W

Passo 3

Usando a restrição W = tfrac1800L, obtemos
P(L) = 4L + 2;1800L = 4L + 3600L
Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
P'(L) = 4 - 3600L^2 = 0 Longrightarrow L^2 = 36004 = 900 Longrightarrow L = 30 m

Passo 4

Com L = 30,m achamos
W = 180030 = 60 m
Substituindo em P(L):
Pmin = 4cdot30 + 2cdot60 = 120 + 120 = 240 m

Passo 5

Se as cercas internas fossem paralelas ao lado de comprimento W, repetiríamos o raciocínio (trocando papéis de L e W) e encontraríamos o mesmo valor mínimo de 240,m, por simetria do problema.

Resposta

O comprimento total mínimo da cerca é de 240 metros.

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