Exercício 2. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 5 e 6)
Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que T(i)=i, T(j)=j e T(k)=-k. Considere R^3 com o produto escalar usual. Mostre que T é auto-adjunta.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:R^3toR^3 tal que
T(i)=i, T(j)=j, T(k)=-k
em R^3 com o produto escalar usual, e pede para mostrar que T é auto-adjunta, ou seja, que T=T^*.

Passo 2

A base canônica i,j,k é ortonormal no produto escalar usual. Logo, a matriz de T nessa base é
[T] ;=; 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Passo 3

Em base ortonormal, a matriz de T^* é a transposta de [T]. Como
[T]^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 =[T],
segue que T^* = T. Portanto T é auto-adjunta.

Resposta

T é auto-adjunta.

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