1-6 Seja a aplicação linear cuja matriz com relação às bases canônicas é
(a) Mostre que T é sobrejetiva.
(b) Conclua que o núcleo de T, N(T), tem dimensão 1. Encontre uma base para N(T).
(c) Dado Y0 in R^3, seja X0 in R^4 tal que T(X0)=Y0 (Por que existe X0 ?). Mostre que T^-1(Y0) é a reta de R^4 que passa por X0 e é paralela a V=(-11,-3,1,1).
(d) Parametrize a reta T^-1(5,7,14).
(e) Resolva o sistema linear
l x-3 y+4 z-2 w=5 x-y+9 z-w=7 2 x-5 y+11 z-4 w=14
Passo 1
O enunciado apresenta a aplicação linear T: R^4to R^3 cuja matriz na base canônica é
Vamos usar eliminação de Gauss para (a) determinar o posto de A e mostrar que T é sobrejetiva; em (b) aplicar o Teorema do Núcleo-Imagem para dimker(T) e encontrar uma base de ker(T); em (c) usar que, por surjetividade, T^-1(Y0)=X0+ker(T); em (d) obter um particular para Y0=(5,7,14) e parametrizar a reta T^-1(5,7,14); e em (e) observar que esse sistema é exatamente Ax=(5,7,14).