1-6 Seja T: R^4 longrightarrow R^3 a aplicação linear cuja matriz com relação às bases canônicas é
A=(rrrr 1 & -3 & 4 & -2 1 & -1 & 9 & -1 2 & -5 & 11 & -4 )
(a) Mostre que T é sobrejetiva.
(b) Conclua que o núcleo de T, N(T), tem dimensão 1. Encontre uma base para N(T).
(c) Dado Y0 in R^3, seja X0 in R^4 tal que T(X0)=Y0 (Por que existe X0 ?). Mostre que T^-1(Y0) é a reta de R^4 que passa por X0 e é paralela a V=(-11,-3,1,1).
(d) Parametrize a reta T^-1(5,7,14).
(e) Resolva o sistema linear
l x-3 y+4 z-2 w=5 x-y+9 z-w=7 2 x-5 y+11 z-4 w=14

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação linear T: R^4to R^3 cuja matriz na base canônica é
A= 1 & -3 & 4 & -2 1 & -1 & 9 & -1 2 & -5 & 11 & -4
Vamos usar eliminação de Gauss para (a) determinar o posto de A e mostrar que T é sobrejetiva; em (b) aplicar o Teorema do Núcleo-Imagem para dimker(T) e encontrar uma base de ker(T); em (c) usar que, por surjetividade, T^-1(Y0)=X0+ker(T); em (d) obter um particular para Y0=(5,7,14) e parametrizar a reta T^-1(5,7,14); e em (e) observar que esse sistema é exatamente Ax=(5,7,14).

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A:
1 & -3 & 4 & -2 1 & -1 & 9 & -1 2 & -5 & 11 & -4 to 1 & -3 & 4 & -2 0 & 2 & 5 & 1 0 & 1 & 3 & 0 to 1 & -3 & 4 & -2 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & -1 to 1 & 0 & 0 & 11 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & -1
Como há três pivôs, rank(A)=3. Como o contradomínio de T tem dimensão 3, concluímos que T é sobrejetiva.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo–Imagem temos
dimker(T) = dim R^4 - rank(A) = 4 - 3 = 1
Para encontrar uma base de ker(T) resolvemos Ax=0. Da forma reduzida obtemos
x1 + 11x4 = 0, x2 +3x4 =0, x3 -x4 =0,
logo, tomando x4 = t,
x = l(x1,x2,x3,x4r) = t(-11,-3,1,1)
Assim ker(T)=lang<=(-11,-3,1,1)rang<=.

Passo 4

Como T é sobrejetiva, para todo Y0in R^3 existe X0in R^4 tal que T(X0)=Y0. Então
T^-1(Y0)=Xin R^4mid T(X)=Y0 =X0+ker(T) =,X0 + s(-11,-3,1,1)mid sin R,
ou seja, uma reta em R^4 passando por X0 e paralela a V=(-11,-3,1,1).

Passo 5

Para parametrizar
Tomando (x_4=s], obtemos a reta

Passo 6

O sistema linear do item (e) é exatamente
Ax=(5,7,14),
cuja solução geral já encontramos no Passo 5.

Resposta

(a) T é sobrejetiva, pois rank(A)=3=dim R^3.
(b) dim N(T)=1 e uma base é (-11,-3,1,1).
(c) Para Y0in R^3, T^-1(Y0)=X0 + s(-11,-3,1,1)mid sin R.
(d)
T^-1(5,7,14)=(-61-11s,,-14-3s,;6+s,;s)mid sin R
(e) A solução do sistema é
(x,y,z,w)=(-61-11s,,-14-3s,;6+s,;s),;sin R

Exercícios relacionados