1-4 Sejam e dois pontos de , com . Seja o ponto médio do segmento de reta . O plano que passa por e é perpendicular ao vetor é chamado plano mediador de , e será denotado por .
(a) Mostre que
(b) Conclua que se, e somente se, .
(c) Mostre que a distância de um ponto a é dada por
Passo 1
O enunciado define dois pontos P,QinR^3 e o ponto médio
M = P+Q2
O plano mediador Pi[P,Q] passa por M e é perpendicular ao vetor
n = Q - P
Precisamos:
— (a) encontrar a equação vetorial escalar de Pi[P,Q];
— (b) mostrar que nela os pontos têm a mesma distância a P e a Q;
— (c) calcular a distância de um ponto Y a esse plano.
Vamos usar produto escalar, expansão de quadrados e fórmula de distância ponto–plano.
Passo 2
Como Pi[P,Q] tem normal n=Q-P e passa por M, sua equação vetorial é