1-4 Sejam P e Q dois pontos de R^3, com P neq Q. Seja M=(P+Q) / 2 o ponto médio do segmento de reta [P, Q]. O plano que passa por M e é perpendicular ao vetor Q-P é chamado plano mediador de [P, Q], e será denotado por Pi[P, Q].
(a) Mostre que
Pi[P, Q]=X in R^3 ; X cdot(Q-P)=12(|Q|^2-|P|^2)
(b) Conclua que X in Pi[P, Q] se, e somente se, |X-P|=|X-Q|.
(c) Mostre que a distância de um ponto Y in R^3 a Pi[P, Q] é dada por
d(Y, Pi[P, Q])=|2 Y cdot(Q-P)-(|Q|^2-|P|^2)|2|Q-P|

Passo 1

O enunciado define dois pontos P,QinR^3 e o ponto médio
M = P+Q2
O plano mediador Pi[P,Q] passa por M e é perpendicular ao vetor
n = Q - P
Precisamos:
— (a) encontrar a equação vetorial escalar de Pi[P,Q];
— (b) mostrar que nela os pontos têm a mesma distância a P e a Q;
— (c) calcular a distância de um ponto Y a esse plano.
Vamos usar produto escalar, expansão de quadrados e fórmula de distância ponto–plano.

Passo 2

Como Pi[P,Q] tem normal n=Q-P e passa por M, sua equação vetorial é
(X - M)cdot n = 0
Desenvolvendo,
Xcdot(Q-P) ;-; Mcdot(Q-P) ;=;0
Mas
Mcdot(Q-P) = P+Q2cdot(Q-P) = 12l(Qcdot Q - Pcdot Pr) = 12l(|Q|^2 - |P|^2r)
Logo
Pi[P,Q] =lXinR^3 : Xcdot(Q-P) =tfrac12l(|Q|^2-|P|^2r)r,
que era o desejado em (a).

Passo 3

Para XinR^3 comparemos |X-Q|^2 e |X-P|^2:
|X-Q|^2 - |X-P|^2 = (X-Q)cdot(X-Q) - (X-P)cdot(X-P)
Expandindo:
= Xcdot X -2Xcdot Q + |Q|^2 - l[Xcdot X -2Xcdot P + |P|^2r] =2Xcdot(P-Q)+|Q|^2-|P|^2
Assim |X-Q|=|X-P| se, e somente se,
2Xcdot(P-Q)+|Q|^2-|P|^2=0 ;Long<=ftrightarrow; Xcdot(Q-P)=tfrac12(|Q|^2-|P|^2),
que é exatamente a equação de Pi[P,Q]. Isso prova (b).

Passo 4

A distância de Y ao plano definido por
;Xcdot n = d; é
dl(Y,Pir) = l|Ycdot n - dr||n|
Aqui n=Q-P e
d=tfrac12l(|Q|^2-|P|^2r)
Portanto
dl(Y,Pi[P,Q]r) = l|,Ycdot(Q-P)-tfrac12(|Q|^2-|P|^2)r||Q-P| = l|,2Ycdot(Q-P)-(|Q|^2-|P|^2)r|2|Q-P|,
que responde (c).

Resposta

(a) Pi[P,Q]=X:Xcdot(Q-P)=tfrac12(|Q|^2-|P|^2)
(b) XinPi[P,Q]iff|X-P|=|X-Q|.
(c) d(Y,Pi[P,Q])=l|2Ycdot(Q-P)-(|Q|^2-|P|^2)r|2|Q-P|

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