Exercício 1. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 3 e 4) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo), T: V V e S: V V operadores auto-adjuntos.
Mostre que S T é auto-adjunto se S T=T S.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço com produto interno de dimensão finita (real ou complexo) e que S e T são operadores auto-adjuntos em V. Queremos mostrar que, se
ST = TS,
então o produto ST também é auto-adjunto. Vamos usar a definição de operador auto-adjunto e a propriedade geral do adjunto de um produto.

Passo 2

Lembrando a definição: um operador A é auto-adjunto se
A^* = A
Além disso, em qualquer espaço com produto interno vale a propriedade do adjunto do produto de operadores:
(AB)^* = B^*,A^*

Passo 3

Aplique essa propriedade ao produto ST:
(ST)^* = T^*,S^*

Passo 4

Como S e T são auto-adjuntos, temos S^*=S e T^*=T. Logo
(ST)^* = T,S
Mas pela hipótese ST=TS, concluímos
(ST)^* = TS = ST

Passo 5

Tendo mostrado que (ST)^*=ST, segue que ST é auto-adjunto por definição.

Resposta

ST é auto-adjunto.

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