Exercício 1. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 3 e 4) Seja
um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo),
e
operadores auto-adjuntos.
Mostre que
é auto-adjunto se
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço com produto interno de dimensão finita (real ou complexo) e que
e
são operadores auto-adjuntos em
. Queremos mostrar que, se
então o produto
também é auto-adjunto. Vamos usar a definição de operador auto-adjunto e a propriedade geral do adjunto de um produto.
Passo 2
Lembrando a definição: um operador
é auto-adjunto se
Além disso, em qualquer espaço com produto interno vale a propriedade do adjunto do produto de operadores:
Passo 3
Aplique essa propriedade ao produto
:
Passo 4
Como
e
são auto-adjuntos, temos
e
. Logo
Mas pela hipótese
, concluímos
Passo 5
Tendo mostrado que
, segue que
é auto-adjunto por definição.