1-5 Sejam e quatro pontos em .
(a) Encontre o plano mediador .
(b) Encontre o plano mediador .
(c) Encontre o plano mediador de .
(d) Calcule a interseção .
(e) Obtenha a esfera que contém os pontos e .
Passo 1
Temos quatro pontos em : , , , .
O enunciado pede (a)–(c) os planos mediadores (perpendiculares ao segmento e passando pelo ponto médio) para os pares , e ; (d) a interseção desses três planos; e (e) a esfera que passa pelos quatro pontos. Vamos usar a definição de plano mediador: o conjunto de pontos tais que .
(d) Interseção dos três planos.
Resolvemos o sistema
x-y=-1, x-z=-2, x+y=3
Somando a primeira e a terceira dá 2x=2, logo x=1. Substituindo em x-y=-1 obtém-se 1-y=-1,Rightarrow,y=2. E em x-z=-2 dá 1-z=-2,Rightarrow,z=3.
Portanto a interseção é o ponto
(1,2,3)
Passo 6
(e) Esfera que contém P1,P2,P3,P4.
O centro é o ponto equidistante encontrado em (d), isto é C=(1,2,3). A distância de C a P1 é
|P1-C|=raiz(2-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2=raiz1=1,
logo o raio é r=1. A equação da esfera é
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=1
Resposta
(a) Pi[P1,P2]colon x - y + 1 = 0
(b) Pi[P1,P3]colon x - z + 2 = 0
(c) Pi[P1,P4]colon x + y - 3 = 0
(d) Pi[P1,P2]capPi[P1,P3]capPi[P1,P4]=(1,2,3)
(e) Esfera de centro (1,2,3) e raio 1, dada por