1-5 Sejam P1=(2,2,3), P2=(1,3,3), P3=(1,2,4) e P4=(1,1,3) quatro pontos em R^3.
(a) Encontre o plano mediador Pi[P1, P2].
(b) Encontre o plano mediador Pi[P1, P3].
(c) Encontre o plano mediador de Pi[P1, P4].
(d) Calcule a interseção Pi[P1, P2] cap Pi[P1, P3] cap Pi[P1, P4].
(e) Obtenha a esfera que contém os pontos P1, P2, P3 e P4.

Passo 1

Temos quatro pontos em R^3:
;P1=(2,2,3),
;P2=(1,3,3),
;P3=(1,2,4),
;P4=(1,1,3).
O enunciado pede (a)–(c) os planos mediadores (perpendiculares ao segmento e passando pelo ponto médio) para os pares [P1,P2], [P1,P3] e [P1,P4]; (d) a interseção desses três planos; e (e) a esfera que passa pelos quatro pontos. Vamos usar a definição de plano mediador: o conjunto de pontos X tais que |X-Pi|=|X-Pj|.

Passo 2

(a) Plano mediador de P1 e P2.
O vetor normal é
P2P1=P1-P2=(2-1,;2-3,;3-3)=(1,-1,0)
O ponto médio é
M12=l(tfrac2+12,;tfrac2+32,;tfrac3+32r)=(1,5,;2,5,;3)
Logo a equação do plano é
1,(x-1,5);-1,(y-2,5);+0,(z-3)=0
que simplifica para
x-y+1=0

Passo 3

(b) Plano mediador de P1 e P3.
O vetor normal é
P3P1=(2-1,;2-2,;3-4)=(1,0,-1)
O ponto médio é
M13=l(tfrac2+12,;tfrac2+22,;tfrac3+42r)=(1,5,;2,;3,5)
A equação do plano fica
1,(x-1,5)+0,(y-2)-1,(z-3,5)=0
ou
x-z+2=0

Passo 4

(c) Plano mediador de P1 e P4.
O vetor normal é
P4P1=(2-1,;2-1,;3-3)=(1,1,0)
O ponto médio é
M14=l(tfrac2+12,;tfrac2+12,;tfrac3+32r)=(1,5,;1,5,;3)
A equação do plano é
1,(x-1,5)+1,(y-1,5)+0,(z-3)=0
ou
x+y-3=0

Passo 5

(d) Interseção dos três planos.
Resolvemos o sistema
x-y=-1, x-z=-2, x+y=3
Somando a primeira e a terceira dá 2x=2, logo x=1. Substituindo em x-y=-1 obtém-se 1-y=-1 ,Rightarrow,y=2. E em x-z=-2 1-z=-2 ,Rightarrow,z=3.
Portanto a interseção é o ponto
(1,2,3)

Passo 6

(e) Esfera que contém P1,P2,P3,P4.
O centro é o ponto equidistante encontrado em (d), isto é C=(1,2,3). A distância de C a P1 é
|P1-C|=raiz(2-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2=raiz1=1,
logo o raio é r=1. A equação da esfera é
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=1

Resposta

(a) Pi[P1,P2]colon x - y + 1 = 0
(b) Pi[P1,P3]colon x - z + 2 = 0
(c) Pi[P1,P4]colon x + y - 3 = 0
(d) Pi[P1,P2]capPi[P1,P3]capPi[P1,P4]=(1,2,3)
(e) Esfera de centro (1,2,3) e raio 1, dada por
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=1

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