Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos
são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de
por
.
.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pede para verificar se é um subespaço vetorial de
e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão. Vamos usar o teste de subespaço (não vazio, fechado em adição e fechado em multiplicação escalar).
e pede para verificar se
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
pertence a
, pois
. Logo,
não é vazio e contém o zero de
.
Passo 3
Sejam
e
dois vetores quaisquer de
. Então
onde claramente
. Portanto
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 4
Seja
e
. Então
onde
. Logo
, mostrando fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado em adição e em multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
. Além disso, todo vetor de
é da forma
ou seja,
. Então uma base de
é
.