Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos S subset R^3 são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de R^3 por (x, y, z).
x=y=z.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S=(x,y,z)inR^3mid x=y=z
e pede para verificar se S é um subespaço vetorial de R^3 e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão. Vamos usar o teste de subespaço (não vazio, fechado em adição e fechado em multiplicação escalar).

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0) pertence a S, pois 0=0=0. Logo, S não é vazio e contém o zero de R^3.

Passo 3

Sejam u=(x,x,x) e v=(y,y,y) dois vetores quaisquer de S. Então
u+v=(x,x,x)+(y,y,y)=(x+y,;x+y,;x+y),
onde claramente (x+y)=(x+y)=(x+y). Portanto u+vin S, mostrando que S é fechado sob adição.

Passo 4

Seja alphainR e u=(x,x,x)in S. Então
alpha,u=alpha,(x,x,x)=(alpha x,;alpha x,;alpha x),
onde alpha x=alpha x=alpha x. Logo alpha uin S, mostrando fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado em adição e em multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de R^3. Além disso, todo vetor de S é da forma
(x,x,x)=x,(1,1,1),
ou seja, S=span(1,1,1). Então uma base de S é (1,1,1).

Resposta

S é um subespaço vetorial de R^3 e dim(S)=1.

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