Verifique que as edo’s dadas abaixo são exatas, resolvendo-as a seguir:
(x+yx^2+y^2) d x+(y-xx^2+y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
(x+yx^2+y^2)dx + (y-xx^2+y^2)dy = 0
é uma equação exata e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo envolvido é o de equações exatas, em que buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) e partial psipartial y = N(x,y),
onde
M(x,y) = x + yx^2+y^2, N(x,y) = y - xx^2+y^2

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando partial M/partial y e partial N/partial x.
Para partial M/partial y:
partialpartial yl(x+yx^2+y^2r) = 1x^2+y^2 - 2y^2(x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2+y^2)^2
Para partial N/partial x:
partialpartial xl(y-xx^2+y^2r) = -1x^2+y^2 + 2x^2(x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2+y^2)^2
Como
partial Mpartial y = partial Npartial x,
a equação é exata.

Passo 3

Para obter psi(x,y), integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral l(x + yx^2+y^2r),dx = integral x,dx + y integral 1x^2+y^2,dx = x^22 + arctan!l(tfracxyr) + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Agora exigimos partial psi/partial y = N(x,y). Calculamos
partial psipartial y = 0 + partialpartial yarctan!l(tfracxyr) + h'(y) = -xx^2+y^2 + h'(y)
Igualando a N(x,y)=y-tfracxx^2+y^2 surge
-xx^2+y^2 + h'(y) = y - xx^2+y^2 Longrightarrow h'(y)=y Longrightarrow h(y)=y^22

Passo 5

Substituindo h(y) em psi, obtemos a função potencial completa:
psi(x,y) = x^22 + y^22 + arctan!l(tfracxyr)
A solução implícita da equação diferencial é
psi(x,y) = C,
isto é,
x^2+y^22 + arctan!l(tfracxyr) = C

Resposta

boxedx^2+y^22 + arctan!l(tfracxyr) = C

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