Questão 1 (2 pontos) Resolva o PVI e determine o intervalo máximo de definição da solução da EDO
d yd x=-e^y sen x y(pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx = -e^ysin x, y(pi)=0
usando técnicas de EDO de variáveis separáveis, e depois encontrar o intervalo máximo de definição da solução, isto é, o maior intervalo aberto contendo x0=pi onde a solução está bem definida.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dydx = -e^ysin x Longrightarrow e^-y,dy = -sin x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral -sin x,dx
Como ddy(e^-y)=-e^-y, temos
-,e^-y = cos x + C

Passo 4

Use a condição inicial y(pi)=0. Substituindo x=pi e y=0 em -e^-y=cos x + C:
-,e^0 = cospi + C Longrightarrow -1 = -1 + C Longrightarrow C=0

Passo 5

Com C=0, a relação fica
-,e^-y = cos x Longrightarrow e^-y = -cos x Longrightarrow y = -lnl(-cos xr)

Passo 6

Para que y(x) seja real precisamos de
-,cos x > 0 Long<=ftrightarrow cos x < 0

Passo 7

O maior intervalo aberto contendo x0=pi em que cos x<0 é
pi2 < x < 3pi2

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = -lnl(-cos xr)
e o intervalo máximo de definição é
l(tfracpi2,,tfrac3pi2r)

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