Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos
são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de
por
.
ou
.
Passo 1
O enunciado define dois subconjuntos de
:
e
.
Precisamos verificar para cada um se é subespaço vetorial (isto é, contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar) e, quando for, determinar sua dimensão.
Precisamos verificar para cada um se é subespaço vetorial (isto é, contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar) e, quando for, determinar sua dimensão.
Passo 2
Analisando
: um vetor em
tem a forma
com
, logo
Isso mostra que todo vetor de
está em
. Como
e
são linearmente independentes,
-
contém o vetor zero (basta ). - É fechado sob soma e escalar porque é um subespaço gerado por esses dois vetores.
Portanto,é subespaço de dimensão 2.
Passo 3
Analisando
: um vetor em
satisfaz
, logo
Os vetores
e
são linearmente independentes. Verificamos que
- O vetor zero está em
(tome ). - A soma e a multiplicação por escalar de vetores desse tipo permanecem nessa forma.
Logo,é subespaço de dimensão 2.
Resposta
S1 é subespaço vetorial de
e
.
S2 é subespaço vetorial de e
.
S2 é subespaço vetorial de