Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos S subset R^3 são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de R^3 por (x, y, z).
x=y ou x=z.

Passo 1

O enunciado define dois subconjuntos de R^3:
S1 = (x,y,z)mid x=y e
S2 = (x,y,z)mid x=z.
Precisamos verificar para cada um se é subespaço vetorial (isto é, contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar) e, quando for, determinar sua dimensão.

Passo 2

Analisando S1: um vetor em S1 tem a forma (x,y,z) com y=x, logo
(x,y,z)=(x,x,z)=x,(1,1,0)+z,(0,0,1)
Isso mostra que todo vetor de S1 está em Span(1,1,0),(0,0,1). Como (1,1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes,
  1. S1 contém o vetor zero (basta x=z=0).
  2. É fechado sob soma e escalar porque é um subespaço gerado por esses dois vetores.
    Portanto, S1 é subespaço de dimensão 2.

Passo 3

Analisando S2: um vetor em S2 satisfaz z=x, logo
(x,y,z)=(x,y,x)=x,(1,0,1)+y,(0,1,0)
Os vetores (1,0,1) e (0,1,0) são linearmente independentes. Verificamos que
  1. O vetor zero está em S2 (tome x=y=0).
  2. A soma e a multiplicação por escalar de vetores desse tipo permanecem nessa forma.
    Logo, S2 é subespaço de dimensão 2.

Resposta

S1 é subespaço vetorial de R^3 e dim S1 = 2.
S2 é subespaço vetorial de R^3 e dim S2 = 2.

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