Questão 3. (2 pontos) Resolva a EDO de segunda ordem dada abaixo reduzindo-a a uma EDO de primeira ordem.
x y^prime prime+2 y^prime=x^3

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
x,y'' + 2,y' = x^3,
e pede para reduzi-la a uma EDO de primeira ordem. O conteúdo aqui é a técnica de redução de ordem via p=y', transformando em uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Definimos
p(x) = y'(x),
logo
y''(x) = p'(x)
Substituindo na EDO original, obtemos
x,p' + 2,p = x^3

Passo 3

Para ficar na forma padrão de uma equação linear em p, dividimos tudo por x (assumindo xneq0):
p' + 2x,p = x^2

Passo 4

Identificamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral 2x,dxr) = x^2
Multiplicando a EDO por mu(x)
x^2p' + 2x,p = x^4,
que reconduz a
ddxl(x^2pr) = x^4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2p = integral x^4,dx = x^55 + C1
Portanto
p = y' = x^35 + C1,x^-2

Passo 6

Finalmente, integramos para encontrar y:
y = integrall(x^35 + C1x^-2r),dx = x^420 - C1,x^-1 + C2,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x) = x^420 - C1,x^-1 + C2,
com C1,C2 constantes.

Exercícios relacionados