Questão 4. (2,5 pontos) Considere o sistema massa-mola que é descrito pela equação
x^prime prime+8 x^prime+16 x=0
a) Encontre a solução geral da EDO acima.
b) Resolva o PVI para x(0)=1 e x^prime(0)=v0.
c) Qual a condição que v0 deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema massa–mola descrito pela equação
x'' + 8,x' + 16,x = 0
e pede:
a) a solução geral dessa EDO;
b) a solução do PVI com condições x(0)=1 e x'(0)=v0;
c) a condição em v0 para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes, usando a equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 8r + 16 = 0
O discriminante é De<a = 8^2 - 4cdot1cdot16 = 0, logo há raiz dupla
r = -4
Para raiz dupla a solução geral é
x(t) = l(C1 + C2,tr)e^-4t

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
x(0) = C1 = 1
Calculamos a derivada
x'(t) = l(C2 - 4(C1 + C2,t)r)e^-4t
e em t=0 obtemos
x'(0) = C2 - 4C1 = v0 Longrightarrow C2 = v0 + 4
Assim, a solução do PVI é
x(t) = l(1 + (v0 + 4),tr)e^-4t

Passo 4

Para que a massa passe pela posição de equilíbrio precisamos de um t>0 tal que x(t)=0. Como
x(t)=l(1 + (v0 + 4),tr)e^-4t=0
não equivale a
1 + (v0 + 4),t = 0 Longrightarrow t = -1v0 + 4,
para que t>0 é necessário v0 + 4 < 0, isto é,
v0 < -4
Esse valor garante um único cruzamento por x=0.

Resposta

a) x(t) = (C1 + C2,t)e^-4t
b) x(t) = l(1 + (v0 + 4),tr)e^-4t
c) A condição é v0 < -4.

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