Questão 4. (2,5 pontos) Considere o sistema massa-mola que é descrito pela equação
a) Encontre a solução geral da EDO acima.
b) Resolva o PVI para
e
.
c) Qual a condição que
deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio?
b) Resolva o PVI para
c) Qual a condição que
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema massa–mola descrito pela equação
e pede:
a) a solução geral dessa EDO;
b) a solução do PVI com condições e
;
c) a condição em para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes, usando a equação característica.
a) a solução geral dessa EDO;
b) a solução do PVI com condições
c) a condição em
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes, usando a equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
O discriminante é
, logo há raiz dupla
Para raiz dupla a solução geral é
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais. Em
:
Calculamos a derivada
e em
obtemos
Assim, a solução do PVI é
Passo 4
Para que a massa passe pela posição de equilíbrio precisamos de um
tal que
. Como
não equivale a
para que
é necessário
, isto é,
Esse valor garante um único cruzamento por
.
Resposta
a)
b)
c) A condição é .
b)
c) A condição é