Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos
são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de
por
.
Passo 1
O enunciado define
Estamos em conteúdo de subespaços vetoriais, e para verificar se
é subespaço precisamos checar três propriedades:
-
. - fechamento sob soma: se
então . - fechamento sob multiplicação por escalar: se
e então .
Passo 2
A condição
é equivalente a
Logo
ou seja, a união de dois planos em
:
e
.
Passo 3
Para falhar o fechamento sob soma, basta escolher um vetor em cada plano. Seja
Então
e nesse vetor
, ou seja
. Portanto
não é fechado sob adição.
Resposta
O conjunto
não é subespaço vetorial de
.