Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos S subset R^3 são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de R^3 por (x, y, z).
x^2-y^2=0

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y,z)in R^3 mid x^2 - y^2 = 0
Estamos em conteúdo de subespaços vetoriais, e para verificar se S é subespaço precisamos checar três propriedades:
  1. 0 = (0,0,0)in S.
  2. fechamento sob soma: se u,vin S então u+vin S.
  3. fechamento sob multiplicação por escalar: se uin S e lambdainR então lambda uin S.

Passo 2

A condição
x^2 - y^2 = 0
é equivalente a
x^2 = y^2 Longrightarrow x = y ;ou; x = -y
Logo
S = (x,x,z) ;cup; (x,-x,z),
ou seja, a união de dois planos em R^3: P1colon y=x e P2colon y=-x.

Passo 3

Para falhar o fechamento sob soma, basta escolher um vetor em cada plano. Seja
v1 = (1,1,0)in P1, v2 = (1,-1,0)in P2
Então
v1 + v2 = (2,0,0),
e nesse vetor 2^2 - 0^2 = 4 neq 0, ou seja (2,0,0)notin S. Portanto S não é fechado sob adição.

Resposta

O conjunto S não é subespaço vetorial de R^3.

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