Exercício 1. Seja Omega subseteq R^d aberto. Mostre que u in W^1(Omega) se, e somente se, todo x in Omega possui uma vizinhança Vx subseteq Omega em que u in W^1(Vx). Em outras palavras, uma função localmente integrável é fracamente diferenciável em um aberto se, e somente se, é fracamente diferenciável em alguma vizinhança de cada um dos pontos de seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num aberto OmegasubseteqR^d, ter uin W^1,p(Omega) é equivalente a dizer que para todo ponto xinOmega existe uma vizinhança aberta VxsubseteqOmega tal que uin W^1,p(Vx). Vamos usar duas ideias principais da teoria de Sobolev:
1. A propriedade de restrição—se uin W^1,p(Omega) então sua restrição a qualquer subaberto pertence ao espaço de Sobolev correspondente.
2. A construção de partição de unidade subordinada a um cobertor aberto, mais a regra do produto (Leibniz) para derivadas fracas, para montar o gradiente global a partir dos gradientes locais.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha uin W^1,p(Omega). Seja VsubseteqOmega um aberto qualquer. Para mostrar uin W^1,p(V) basta verificar que existem funções viin L^p(V) tais que, para todo varphiin Cc^infty(V),
integralV u,partialivarphi =,-integralV vi,varphi
De fato, dado varphiin Cc^infty(V), estenda-a por zero a todo Omega e chame essa extensão de tildevarphiin Cc^infty(Omega). Como uin W^1,p(Omega) existe viin L^p(Omega) com
integralOmega u,partialitildevarphi =,-integralOmega vi,tildevarphi
Mas tildevarphi só vive em V, então as integrais restringem-se a V. Logo vi|Vin L^p(V) é a derivada fraca de u em V, provando uin W^1,p(V).

Passo 3

( Leftarrow) Suponha agora que cada xinOmega tenha uma vizinhança Vx em que uin W^1,p(Vx). Pelo segundo axioma de contagem em R^d podemos extrair uma cobertura numerável Vii=1^infty. Escolha uma partição de unidade suave psiisubset Cc^infty(Omega) subordinada a essa cobertura, isto é, cada psii tem suporte em Vi e sumipsiiequiv1 em Omega, com soma localmente finita.
Então em cada Vi temos uin W^1,p(Vi), logo pelo lema de produto cada
psii,uin W^1,p0(Vi) e, estendida por zero a Omega, pertence a W^1,p(Omega). A derivada fraca dessa parcela é
D(psii,u) = psii,Du ;+; u,Dpsii
em L^p(Omega), pois Duin L^p(Vi), uin L^p(Vi) e Dpsii é suave de suporte compacto.
Como a soma sumi(psii,u) é localmente finita, obtemos
u ;=;sumi psii,u e Du ;=;sumiD(psii,u)
no sentido de distribuições, com ambas as somas em L^p(Omega). Portanto uin W^1,p(Omega).

Resposta

Concluímos que uin W^1,p(Omega) se, e somente se, para todo xinOmega existe uma vizinhança VxsubseteqOmega tal que uin W^1,p(Vx).

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