Exercício 1. Seja
aberto. Mostre que
se, e somente se, todo
possui uma vizinhança
em que
. Em outras palavras, uma função localmente integrável é fracamente diferenciável em um aberto se, e somente se, é fracamente diferenciável em alguma vizinhança de cada um dos pontos de seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num aberto
, ter
é equivalente a dizer que para todo ponto
existe uma vizinhança aberta
tal que
. Vamos usar duas ideias principais da teoria de Sobolev:
. A propriedade de restrição—se
então sua restrição a qualquer subaberto pertence ao espaço de Sobolev correspondente.
. A construção de partição de unidade subordinada a um cobertor aberto, mais a regra do produto (Leibniz) para derivadas fracas, para montar o gradiente global a partir dos gradientes locais.
Passo 2
(
) Suponha
. Seja
um aberto qualquer. Para mostrar
basta verificar que existem funções
tais que, para todo
,
De fato, dado
, estenda-a por zero a todo
e chame essa extensão de
. Como
existe
com
Mas
só vive em
, então as integrais restringem-se a
. Logo
é a derivada fraca de
em
, provando
.
Passo 3
(
) Suponha agora que cada
tenha uma vizinhança
em que
. Pelo segundo axioma de contagem em
podemos extrair uma cobertura numerável
. Escolha uma partição de unidade suave
subordinada a essa cobertura, isto é, cada
tem suporte em
e
em
, com soma localmente finita.
Então em cada temos
, logo pelo lema de produto cada
e, estendida por zero a
, pertence a
. A derivada fraca dessa parcela é
Então em cada
em
, pois
,
e
é suave de suporte compacto.
Como a soma é localmente finita, obtemos
Como a soma
no sentido de distribuições, com ambas as somas em
. Portanto
.
Resposta
Concluímos que
se, e somente se, para todo
existe uma vizinhança
tal que
.