Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem <= n), isto é, de Pn=a0+a1 t+ldots+an t^n, a0, ldots, an in R, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
f(x)=-f(-x)

Passo 1

Resumimos o enunciado. Seja
Pn=la0+a1t+cdots+ant^nmid aiinRr.
O subconjunto em questão é
S=,finPnmid f(x)=-f(-x),,
isto é, o conjunto dos polinômios ímpares de grau no máximo n. Vamos verificar se S é subespaço vetorial e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão.

Passo 2

Mostramos que S é subespaço de Pn.
  1. Polinômio nulo: f0(x)=0 satisfaz 0=-0, logo f0in S.
  2. Fechamento em soma: se f,gin S então
(f+g)(x)=f(x)+g(x) =-f(-x)-g(-x) =-(f+g)(-x),
logo f+gin S.
3. Fechamento em escalar: para lambdainR e fin S
(lambda f)(x)=lambda f(x) =-lambda f(-x) =-(lambda f)(-x),
logo lambda fin S.
Portanto, S é subespaço vetorial de Pn.

Passo 3

Vamos construir uma base de S. Todo polinômio ímpar pode ser escrito como combinação linear dos monômios de grau ímpar. Logo uma base natural é
,t,t^3,t^5,dots,t^2k+1,dots
limitada ao maior expoente ímpar <= n. Seja
m = llfloortfracn-12rrfloor,
então os monômios de grau ímpar até n são
t^2k+1, k=0,1,dots,m
Eles são linearmente independentes e geram S.

Passo 4

O número de elementos dessa base é
m+1 =llfloortfracn-12rrfloor+1 =llfloortfracn+12rrfloor
Logo
dim S = llfloortfracn+12rrfloor

Resposta

O conjunto finPnmid f(x)=-f(-x) é subespaço vetorial de Pn e
dim = llfloortfracn+12rrfloor

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