Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem
), isto é, de
, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
Passo 1
Resumimos o enunciado. Seja
.
O subconjunto em questão é
O subconjunto em questão é
isto é, o conjunto dos polinômios ímpares de grau no máximo
. Vamos verificar se
é subespaço vetorial e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de
.
- Polinômio nulo:
satisfaz , logo . - Fechamento em soma: se
então
logo
.
3. Fechamento em escalar: para e
3. Fechamento em escalar: para
logo
.
Portanto,
é subespaço vetorial de
.
Passo 3
Vamos construir uma base de
. Todo polinômio ímpar pode ser escrito como combinação linear dos monômios de grau ímpar. Logo uma base natural é
limitada ao maior expoente ímpar
. Seja
então os monômios de grau ímpar até
são
Eles são linearmente independentes e geram
.
Passo 4
O número de elementos dessa base é
Logo
Resposta
O conjunto
é subespaço vetorial de
e