Verifique os intervalos de crescimento da função
, quando restrita ao intervalo
. Verifique também o comportamento da concavidade.
Passo 1
Resumindo, queremos estudar a monotonicidade e a concavidade de
no intervalo
. Para isso, vamos calcular
e
, achar seus zeros e verificar o sinal em cada subintervalo.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Para encontrar pontos críticos, igualamos a zero:
dentro de
. Agora analisamos o sinal de
:
- Se
, então . Isso ocorre em e em . Logo é decrescente nesses trechos. - Se
, então . Isso ocorre em . Logo é crescente nesse intervalo.
Passo 3
Agora a derivada segunda:
Para a concavidade, observamos o sinal de
:
- Se
, isto é, , então e é côncava para cima. - Se
, isto é, , então e é côncava para baixo.
O único ponto de inflexão interno é, onde muda de sinal.
Resposta
Monotonicidade em
:
é decrescente em
e em
, e crescente em
.
Concavidade em
:
é côncava para cima em
, côncava para baixo em
, com ponto de inflexão em
.