Verifique os intervalos de crescimento da função f(x)=x2-sen x, quando restrita ao intervalo [0,2 pi]. Verifique também o comportamento da concavidade.

Passo 1

Resumindo, queremos estudar a monotonicidade e a concavidade de
f(x)=x2-sin x
no intervalo [0,2pi]. Para isso, vamos calcular f'(x) e f''(x), achar seus zeros e verificar o sinal em cada subintervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x2-sin xr)=12-cos x
Para encontrar pontos críticos, igualamos a zero:
12-cos x=0 Longrightarrow cos x=12 Longrightarrow x=pi3 ou x=5pi3
dentro de [0,2pi]. Agora analisamos o sinal de f'(x):
  • Se cos x>tfrac12, então f'(x)<0. Isso ocorre em 0<= x<tfracpi3 e em tfrac5pi3<x<=2pi. Logo f é decrescente nesses trechos.
  • Se cos x<tfrac12, então f'(x)>0. Isso ocorre em tfracpi3<x<tfrac5pi3. Logo f é crescente nesse intervalo.

Passo 3

Agora a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(tfrac12-cos xr)=sin x
Para a concavidade, observamos o sinal de sin x:
  • Se sin x>0, isto é, 0<x<pi, então f''(x)>0 e f é côncava para cima.
  • Se sin x<0, isto é, pi<x<2pi, então f''(x)<0 e f é côncava para baixo.
    O único ponto de inflexão interno é x=pi, onde f'' muda de sinal.

Resposta

Monotonicidade em [0,2pi]:
f é decrescente em l[0,tfracpi3r] e em l[tfrac5pi3,2pir], e crescente em l[tfracpi3,tfrac5pi3r].
Concavidade em [0,2pi]:
f é côncava para cima em (0,pi), côncava para baixo em (pi,2pi), com ponto de inflexão em x=pi.

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