Exercício 12. Conforme enunciamos em aula, se e é um aberto limitado com , as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) O traço de é a função nula em .
(b) Existe uma sequência de funções tal que em .
Em particular, este exercício implica que o espaço de Sobolev pode ser definido por qualquer das caracterizações abaixo:
Neste exercício, você deve seguir o roteiro abaixo para provar a equivalência destas afirmações. Este é o roteiro sugerido pela prova do Teorema 2 da Seção 5.5 do livro do Evans.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Queremos mostrar que, para pin[1,infty) e OmegasubsetR^d aberto limitado com partialOmegain C^1, as duas afirmações abaixo são equivalentes:
(a) O traço de uin W^1,p(Omega) é zero em partialOmega.
(b) Existe umsubset Cc^infty(Omega) tal que umto u em W^1,p(Omega).
O que usamos: continuidade do operador traço T:W^1,p(Omega)to L^p(partialOmega), propriedades de funções de corte (\emph{cut– off}) e convolução (mollificação) para aproximar no espaço de Sobolev.
Passo 2
Prova de (b)implies(a)
Se umin Cc^infty(Omega), então cada um estende-se continuamente até a fronteira com valor zero, logo T um=0 em L^p(partialOmega). Como T é contínuo de W^1,p(Omega) em L^p(partialOmega), temos
T u ;=;limmtoinftyT um ;=;0 em L^p(partialOmega),
ou seja, o traço de u é zero.
Passo 3
Construção de funções de corte e controle na vizinhança da fronteira
Para de<a>0 definimos a faixa próxima à fronteira
Sde<a ;=;xinOmega:dist(x,partialOmega)<de<a
Escolhemos chide<ain Cc^infty(Omega) tal que chide<aequiv1 em Omegasetminus S2de<a e chide<aequiv0 em Sde<a.
Então vde<a:=chide<a,u satisfaz vde<ain W^1,p(Omega), supp,vde<asubsetOmegasetminus Sde<a e
u - vde<a ;=;(1-chide<a),u
é suportado em S2de<a.
Passo 4
vde<ato u em W^1,p(Omega)
Como meas(S2de<a)to0 quando de<ato0, temos
e de modo análogo |nabla(u-vde<a)|L^p(Omega)to0.
Logo vde<ato u em W^1,p(Omega).
Passo 5
Mollificação de vde<a para obter Cc^infty
Estendemos vde<a por zero fora de Omega e, para varepsilon>0 pequeno (menor que de<a), definimos
vde<a,varepsilon := rhovarepsilon * vde<a,
onde rhovarepsilon é o núcleo de mollificação usual. Então vde<a,varepsilonin Cc^infty(Omega) (pois supp,vde<asubsetOmegasetminus Sde<a garante que a convolução não “vaze” até a fronteira) e