Exercício 12. Conforme enunciamos em aula, se p in[1,+infty) e Omega subset R^d é um aberto limitado com partial Omega in C^1, as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) O traço de u in W^1, p(Omega) é a função nula em partial Omega.
(b) Existe uma sequência de funções um in Cc^infty(Omega) tal que um longrightarrow u em W^1, p.
Em particular, este exercício implica que o espaço de Sobolev W0^1, p(Omega) pode ser definido por qualquer das caracterizações abaixo:
W0^1, p(Omega)=Cc^infty(Omega)^W^1, p(Omega)=u in W^1, p(Omega) ; T u=0 in L^p(partial Omega)=Nuc T
Neste exercício, você deve seguir o roteiro abaixo para provar a equivalência destas afirmações. Este é o roteiro sugerido pela prova do Teorema 2 da Seção 5.5 do livro do Evans.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Queremos mostrar que, para pin[1,infty) e OmegasubsetR^d aberto limitado com partialOmegain C^1, as duas afirmações abaixo são equivalentes:
(a) O traço de uin W^1,p(Omega) é zero em partialOmega.
(b) Existe umsubset Cc^infty(Omega) tal que umto u em W^1,p(Omega).
O que usamos: continuidade do operador traço T:W^1,p(Omega)to L^p(partialOmega), propriedades de funções de corte (\emph{cut– off}) e convolução (mollificação) para aproximar no espaço de Sobolev.

Passo 2

Prova de (b)implies(a)
Se umin Cc^infty(Omega), então cada um estende-se continuamente até a fronteira com valor zero, logo T um=0 em L^p(partialOmega). Como T é contínuo de W^1,p(Omega) em L^p(partialOmega), temos
T u ;=;limmtoinftyT um ;=;0 em L^p(partialOmega),
ou seja, o traço de u é zero.

Passo 3

Construção de funções de corte e controle na vizinhança da fronteira
Para de<a>0 definimos a faixa próxima à fronteira
Sde<a ;=;xinOmega:dist(x,partialOmega)<de<a
Escolhemos chide<ain Cc^infty(Omega) tal que
chide<aequiv1 em Omegasetminus S2de<a e chide<aequiv0 em Sde<a.
Então vde<a:=chide<a,u satisfaz vde<ain W^1,p(Omega), supp,vde<asubsetOmegasetminus Sde<a e
u - vde<a ;=;(1-chide<a),u
é suportado em S2de<a.

Passo 4

vde<ato u em W^1,p(Omega)
Como meas(S2de<a)to0 quando de<ato0, temos
|,u - vde<a|L^p(Omega) ;<=; |u|L^p(S2de<a) ;<=; |u|L^p(Omega)l(meas(S2de<a)r)^1/p;xrightarrow[de<ato0];0,
e de modo análogo
|nabla(u-vde<a)|L^p(Omega)to0.
Logo vde<ato u em W^1,p(Omega).

Passo 5

Mollificação de vde<a para obter Cc^infty
Estendemos vde<a por zero fora de Omega e, para varepsilon>0 pequeno (menor que de<a), definimos
vde<a,varepsilon := rhovarepsilon * vde<a,
onde rhovarepsilon é o núcleo de mollificação usual. Então vde<a,varepsilonin Cc^infty(Omega) (pois supp,vde<asubsetOmegasetminus Sde<a garante que a convolução não “vaze” até a fronteira) e
|vde<a,varepsilon-vde<a|W^1,p(Omega)xrightarrow[varepsilonto0]0

Passo 6

Diagonalização e conclusão de (a)implies(b)
Escolhemos sequências de<amto0 e depois varepsilonmto0 de modo que
um ;:=;vde<am,varepsilonm ;xrightarrow[mtoinfty],u em W^1,p(Omega)
Cada umin Cc^infty(Omega), como queríamos.

Resposta

Mostramos (b)implies(a) usando a continuidade do traço e (a)implies(b) com funções de corte e mollificação. Logo as afirmações são equivalentes.

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