Exercício 6. (Apostol seção 11.15 exercício 22) Seja A=integral0^1 e^-t^2 d t e B=integral0^12 e^-t^2 d t. Calcule
I=2 integral-12^1(integral0^x e^-y^2 d y) d x
em termos de A e B. (Dica: Existem inteiros positivos m e n tais que I=m A-n B+e^-1-e^-14.

Passo 1

O enunciado define
A = integral0^1 e^-t^2;dt, B = integral0^tfrac12 e^-t^2;dt,
e pede
I = 2 integral-tfrac12^1l(integral0^x e^-y^2;dyr)dx
O conteúdo envolvido é o uso de integração por partes aliado ao Teorema Fundamental do Cálculo. Para simplificar, vamos definir
F(x) = integral0^x e^-y^2;dy,
de modo que I = 2integral-tfrac12^1F(x),dx.

Passo 2

Aplicamos o método de integração por partes ao integral integral F(x),dx. Tomamos
u = F(x), dv = dx
de onde
du = F'(x),dx = e^-x^2,dx, v = x
Logo,
integral F(x),dx = x,F(x) - integral x,e^-x^2,dx
Para o segundo termo, basta lembrar que
integral x,e^-x^2,dx = -tfrac12,e^-x^2 + C
Portanto
integral F(x),dx = x,F(x) + tfrac12,e^-x^2 + C

Passo 3

Voltando a I,
I = 2l[;x,F(x) + tfrac12,e^-x^2r]x=-tfrac12^x=1 = 2l[l(1cdot F(1) + tfrac12 e^-1r) -l((-tfrac12)F(-tfrac12) + tfrac12 e^-tfrac14r)r]
Distribuindo e simplificando,
I = 2F(1) + e^-1 ;+; Fl(-tfrac12r) ;-; e^-tfrac14

Passo 4

Basta agora usar
F(1) = integral0^1 e^-y^2,dy = A, Fl(-tfrac12r) = integral0^-tfrac12 e^-y^2,dy = -integral-tfrac12^0e^-y^2,dy = -integral0^tfrac12e^-u^2,du = -B
Logo
I = 2A + e^-1 ;-; B ;-; e^-tfrac14 = 2A ;-; B ;+; e^-1 ;-; e^-tfrac14

Resposta

boxedI = 2A ;-; B ;+; e^-1 ;-; e^-tfrac14

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