Exercício 6. (Apostol seção 11.15 exercício 22) Seja
e
. Calcule
em termos de
e
. (Dica: Existem inteiros positivos
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado define
e pede
O conteúdo envolvido é o uso de integração por partes aliado ao Teorema Fundamental do Cálculo. Para simplificar, vamos definir
de modo que
.
Passo 2
Aplicamos o método de integração por partes ao integral
. Tomamos
de onde
Logo,
Para o segundo termo, basta lembrar que
Portanto
Passo 3
Voltando a
,
Distribuindo e simplificando,
Passo 4
Basta agora usar
Logo