Investigue a convergência ou divergência das séries
sumn=1^infty(-1)^n-1 n sen(pin).

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergencia da série
sumn=1^infty(-1)^n-1,nsin!l(tfracpinr)
O que vamos usar é o teste necessário de convergência: se a série converge, então o termo geral deve tender a zero quando ntoinfty.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento de
an = nsin!l(tfracpinr)
quando ntoinfty. Para x pequeno vale a aproximação sin xapprox x. Então, com x=tfracpin, temos
sin!l(tfracpinr)approx tfracpin Longrightarrow nsin!l(tfracpinr)approx pi
Mais formalmente,
limntoinftynsin!l(tfracpinr) =limntoinftysin(pi/n)1/n =pi

Passo 3

Como
limntoinftyan = pineq 0,
o termo geral ,(-1)^n-1an não tende a zero. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral não tende a zero.

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