Investigue a convergência ou divergência das séries
sumn=1^infty nraizn^1000-n;

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^inftynraizn^1000-n
O conteúdo envolve séries numéricas e teste de comparação assintótica com p-séries.

Passo 2

Note que para n=1 o termo raiz1^1000-1=0, então não está definido. No entanto, isso afeta apenas termos iniciais (finitos). Podemos, sem perda, começar a análise em n=2, pois a convergência de uma série numérica depende do comportamento do “cauda” (grandes n).

Passo 3

Para n grande, o termo geral
an = nraizn^1000-n
pode ser aproximado por
nraizn^1000 =nn^500 =n^-499
Formalmente,
limntoinftyann^-499 =limntoinftyn/raizn^1000-nn^-499 =limntoinftyn^500raizn^1000-n =1,
logo an é comparável a n^-499.

Passo 4

A p-série
sumn=2^inftyn^-499
converge porque o expoente 499>1. Pelo teste da comparação por limite, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftynraizn^1000-n converge.

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