Exercício 3. (Apostol seção 11.9 exercício 14) Seja
a função dada por
Mostre que
f é integrável e que sua integral é igual a zero.
Passo 1
O enunciado define a função
no quadrado
[0,1]times[0,1] . O objetivo é mostrar que
f é integrável no sentido de Riemann e que
Para isso vamos usar o critério de integrabilidade via somas superior e inferior.
Passo 2
Primeiro note que, em qualquer partição
P de
[0,1]^2 , cada subretângulo
R tem pontos onde
xneq y , logo
Assim a soma inferior
L(f,P) vale
Portanto a integral inferior é
Passo 3
Para a soma superior
Agora dado que divide cada eixo em
partes iguais com
. Cada subretângulo tem área
. A reta
intersecta no máximo
desses subretângulos, de modo que
Isto mostra que a integral superior
Passo 4
Como
I=I=0 , concluímos que
f é Riemann-integrável em
[0,1]^2 e