Exercício 3. (Apostol seção 11.9 exercício 14) Seja f:[0,1] times[0,1] R a função dada por
f(x, y)=l 1, x=y 0, x neq y
Mostre que f é integrável e que sua integral é igual a zero.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 1,&x=y, 0,&xneq y
no quadrado [0,1]times[0,1]. O objetivo é mostrar que f é integrável no sentido de Riemann e que
integral dupla[0,1]^2f(x,y),dx,dy=0
Para isso vamos usar o critério de integrabilidade via somas superior e inferior.

Passo 2

Primeiro note que, em qualquer partição P de [0,1]^2, cada subretângulo R tem pontos onde xneq y, logo
inf(x,y)in Rf(x,y)=0
Assim a soma inferior L(f,P) vale
L(f,P)=sumRin P(infR f)cdotárea(R) =sumRin P0cdotárea(R)=0 áá
Portanto a integral inferior é
I=supP L(f,P)=0

Passo 3

Para a soma superior
Agora dado que divide cada eixo em partes iguais com . Cada subretângulo tem área . A reta intersecta no máximo desses subretângulos, de modo que
á
Isto mostra que a integral superior

Passo 4

Como I=I=0, concluímos que f é Riemann-integrável em [0,1]^2 e
integral dupla[0,1]^2f(x,y),dx,dy=0

Resposta

0

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