Encontre os pontos de máximos locais, mínimos locais e de inflexão das funções abaixo:
f(x)=x^2 e^-5 x,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximos locais, mínimos locais e de inflexão da função
f(x)=x^2e^-5x
O conteúdo principal que vamos usar é cálculo de derivadas, determinação de pontos críticos (onde f'(x)=0) com classificação pela mudança de sinal de f' e análise de concavidade pela segunda derivada f''(x).

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x). Usando a regra do produto:
f'(x)=ddxl(x^2r),e^-5x+x^2ddxl(e^-5xr) =2x,e^-5x+x^2(-5),e^-5x =e^-5x(2x-5x^2) =e^-5xx(2-5x)
Para pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0Longrightarrow e^-5xx(2-5x)=0
como e^-5xneq0, vem
x=0 ou 2-5x=0;Longrightarrow;x=25

Passo 3

Classificar os pontos críticos pela variação de sinal de f'. Como e^-5x>0, o sinal de f' vem de x(2-5x):
  • Para x<0: x<0 e 2-5x>0 implies f'<0 (decrescente).
  • Para 0<x<tfrac25: x>0 e 2-5x>0 implies f'>0 (crescente).
  • Para x>tfrac25: x>0 e 2-5x<0 implies f'<0 (decrescente).
Logo em x=0 a função passa de decrescente para crescente, dando um mínimo local; em x=tfrac25 passa de crescente para decrescente, dando um máximo local. Os valores são
f(0)=0, f!l(tfrac25r)=l(tfrac25r)^2e^-5cdot25 =425e^-2

Passo 4

Calcular a segunda derivada f''(x) para estudar concavidade e inflexões. A partir de
f'(x)=e^-5x(2x-5x^2),
temos
f''(x) =ddxl[e^-5x(2x-5x^2)r] =e^-5x(-5)(2x-5x^2)+e^-5x(2-10x) =e^-5xl(25x^2-20x+2r)
Como e^-5x>0, os pontos de inflexão vêm de
25x^2-20x+2=0 Longrightarrow x=20pmraiz400-20050 =2pmraiz25

Passo 5

Verificar mudança de concavidade em cada raiz de 25x^2-20x+2:
  • Para x<tfrac2-raiz25: 25x^2-20x+2>0 implies f''>0 (concavidade para cima).
  • Para tfrac2-raiz25<x<tfrac2+raiz25: 25x^2-20x+2<0 implies f''<0 (concavidade para baixo).
  • Para x>tfrac2+raiz25: 25x^2-20x+2>0 implies f''>0 (concavidade para cima).
Portanto ocorrem inflexões em x=tfrac2pmraiz25. Os valores de f nesses pontos são
f!l(tfrac2pmraiz25r) =l(tfrac2pmraiz25r)^2 exp!l(-5!cdot!tfrac2pmraiz25r) =(2pmraiz2)^225,e^-(2pmraiz2)

Resposta

Mínimo local: ;(0,0).
Máximo local: l(tfrac25,tfrac425e^-2r).
Pontos de inflexão:
l(tfrac2-raiz25,,tfrac(2-raiz2)^225,e^-(2-raiz2)r) e l(tfrac2+raiz25,,tfrac(2+raiz2)^225,e^-(2+raiz2)r)

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