Encontre os pontos de máximos locais, mínimos locais e de inflexão das funções abaixo:
,
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximos locais, mínimos locais e de inflexão da função
O conteúdo principal que vamos usar é cálculo de derivadas, determinação de pontos críticos (onde
) com classificação pela mudança de sinal de
e análise de concavidade pela segunda derivada
.
Passo 2
Calcular a primeira derivada
. Usando a regra do produto:
Para pontos críticos, resolvemos
como
, vem
Passo 3
Classificar os pontos críticos pela variação de sinal de
. Como
, o sinal de
vem de
:
- Para
: e (decrescente). - Para
: e (crescente). - Para
: e (decrescente).
Logo em
a função passa de decrescente para crescente, dando um mínimo local; em
passa de crescente para decrescente, dando um máximo local. Os valores são
Passo 4
Calcular a segunda derivada
para estudar concavidade e inflexões. A partir de
temos
Como
, os pontos de inflexão vêm de
Passo 5
Verificar mudança de concavidade em cada raiz de
:
- Para
: (concavidade para cima). - Para
: (concavidade para baixo). - Para
: (concavidade para cima).
Portanto ocorrem inflexões em
. Os valores de
nesses pontos são
Resposta
Mínimo local:
.
Máximo local: .
Pontos de inflexão:
Máximo local:
Pontos de inflexão: