Investigue a convergência ou divergência das séries
sumn=1^infty(-1)^n 3 n^2+11 n3^n(n^2+3 n+7).

Passo 1

O enunciado pede investigar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n3n^2+11n3^nl(n^2+3n+7r)
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para determinar convergência absoluta, pois se a série de valores absolutos convergir, então a série original converge absolutamente.

Passo 2

Definimos
an=(-1)^n3n^2+11n3^nl(n^2+3n+7r),
então
lvert anrvert=3n^2+11n3^nl(n^2+3n+7r)
Note que limntoinftylvert anrvert=0, pois o fator exponencial 3^n cresce muito mais rápido que o polinômio n^2.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão à série de termos absolutos:
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty13 cdot3(n+1)^2+11(n+1)3n^2+11n cdotn^2+3n+7(n+1)^2+3(n+1)+7
Para ntoinfty, cada fração racional tende a 1, logo o limite é
13<1
Pelo teste da razão, a série sumn=1^inftylvert anrvert converge.

Passo 4

Como sumlvert anrvert converge, a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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