Encontre os pontos de máximos locais, mínimos locais e de inflexão das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de máximo local, mínimo local e de inflexão da função
Isso envolve derivar
para encontrar
(extremos) e analisar
(concavidade e inflexões).
Passo 2
Defina
, de modo que
. Usando a regra da cadeia,
Passo 3
Para extremos locais, resolvemos
. Como o denominador nunca se anula em pontos de derivada finita, basta
Verificando o sinal de
:
- Para
, ; . - Para
, ; .
Logocresce até , decresce em e cresce depois;
é máximo local e é mínimo local.
Passo 4
Derivando de novo para concavidade:
Note que
sempre (discriminante negativo), logo o sinal de
vem de
. Os zeros de
são
Em cada um destes pontos a concavidade troca de sinal, caracterizando pontos de inflexão (apesar de
ficar infinita aí,
é contínua).
Passo 5
Reunindo:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Pontos de inflexão em
Resposta
Máximo local:
.
Mínimo local: .
Pontos de inflexão: .
Mínimo local:
Pontos de inflexão: