Encontre os pontos de máximos locais, mínimos locais e de inflexão das funções abaixo:
f(x)=raiz[3]x^3-2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo local, mínimo local e de inflexão da função
f(x)=raiz[3],x^3-2x+1,
Isso envolve derivar f para encontrar f'(x)=0 (extremos) e analisar f''(x) (concavidade e inflexões).

Passo 2

Defina u(x)=x^3-2x+1, de modo que f(x)=u(x)^1/3. Usando a regra da cadeia,
u'(x)=3x^2-2, f'(x)=u'(x)3,u(x)^2/3 =3x^2-23,(x^3-2x+1)^2/3

Passo 3

Para extremos locais, resolvemos f'(x)=0. Como o denominador nunca se anula em pontos de derivada finita, basta
3x^2-2=0 ;Longrightarrow; x=pmraiztfrac23
Verificando o sinal de f':
  • Para |x|>raiztfrac23, 3x^2-2>0; Rightarrow f'>0.
  • Para |x|<raiztfrac23, 3x^2-2<0; Rightarrow f'<0.
    Logo f cresce até x=-raiztfrac23, decresce em -raiztfrac23<x<raiztfrac23 e cresce depois;
    ,x=-raiztfrac23 é máximo local e x=+raiztfrac23 é mínimo local.

Passo 4

Derivando de novo para concavidade:
f''(x) =ddxgl(3x^2-23,u^2/3gr) =-2,(6x^2-9x+4)9,(x^3-2x+1)^5/3
Note que 6x^2-9x+4>0 sempre (discriminante negativo), logo o sinal de f'' vem de (x^3-2x+1)^5/3. Os zeros de x^3-2x+1 são
x1=-1+raiz52,; x2=-1+raiz52,; x3=1
Em cada um destes pontos a concavidade troca de sinal, caracterizando pontos de inflexão (apesar de f' ficar infinita aí, f é contínua).

Passo 5

Reunindo:
  • Máximo local em x=-raiztfrac23.
  • Mínimo local em x=+raiztfrac23.
  • Pontos de inflexão em
x=-1+raiz52, x=-1+raiz52, x=1

Resposta

Máximo local: x=-raiztfrac23.
Mínimo local: x=+raiztfrac23.
Pontos de inflexão: x=-tfrac1+raiz52,;x=tfrac-1+raiz52,;x=1.

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