Exercício 2. (Apostol seção 12.10 exercício 1) Seja S o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0 e F(x, y, z)=(x, y, 0).
Seja n a normal que aponta para fora da esfera. Calcule integral dupla F.ndS usando
a) a representação vetorial alpha(u, v)=(sen(u) cos (v), sen(u) sen(v), cos (u)).
b) a representação explícita z=raiz1-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,0) através do hemisfério unitário Scolon x^2+y^2+z^2=1,;z>=0, com normal unitário para fora da esfera. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, usando duas parametrizações diferentes:
  • (a) via coordenadas esféricas alpha(u,v),
  • (b) via representação explícita z=raiz1-x^2-y^2.

Passo 2

Na parametrização esférica tomamos
alpha(u,v)=l(sin ucos v,;sin usin v,;cos ur),
com uin[0,pi/2], vin[0,2pi]. Calculamos
alphau=(cos ucos v,;cos usin v,;- sin u), alphav=(-sin usin v,;sin ucos v,;0)
O vetor normal orientado para fora da esfera é
alphautimesalphav =l(sin^2ucos v,;sin^2usin v,;sin ucos ur),
e seu módulo é
llvertalphautimesalphavrrvert =sin u
O campo em coordenadas esféricas vale
F(alpha(u,v)) =(sin ucos v,;sin usin v,;0),
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Fcdot(alphautimesalphav) =sin ucos v;sin^2ucos v +sin usin v;sin^2usin v =sin^3u(cos^2v+sin^2v) =sin^3u
Portanto o fluxo é
integral duplaS Fcdot n,dS =integralv=0^2pi!integralu=0^pi/2sin^3u,du,dv =2piintegral0^pi/2sin^3u,du
E sabe-se que
integral0^pi/2sin^3u,du=tfrac23,
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integral duplaS Fcdot n,dS =2picdottfrac23 =tfrac4pi3

Passo 3

Agora usamos a representação explicita z=g(x,y)=raiz1-x^2-y^2 sobre o disco Dcolon x^2+y^2<=1. A orientação para fora coincide com a normal “para cima”
n,dS=(-gx,,-gy,,1),dA
Calculamos
gx=-xraiz1-x^2-y^2, gy=-yraiz1-x^2-y^2,
então
n,dS =l(xraiz1-x^2-y^2,; yraiz1-x^2-y^2,; 1r)dA
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Fcdot n,dS =(x,y,0)cdotl(tfracxraiz1-r^2,;tfracyraiz1-r^2,;1r)dA =x^2+y^2raiz1-r^2,dA,
com r^2=x^2+y^2. Em coordenadas polares dA=r,dr,dtheta, o fluxo vale
integral0^2pi!integral0^1r^2raiz1-r^2,r,dr,dtheta =2piintegral0^1r^3raiz1-r^2,dr =2picdottfrac23 =tfrac4pi3

Resposta

integral duplaS Fcdot n,dS = tfrac4pi3

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