Exercício 2. (Apostol seção 12.10 exercício 1) Seja o hemisfério e .
Seja a normal que aponta para fora da esfera. Calcule F.ndS usando
a) a representação vetorial .
b) a representação explícita .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de através do hemisfério unitário , com normal unitário para fora da esfera. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, usando duas parametrizações diferentes:
(a) via coordenadas esféricas ,
(b) via representação explícita .
Passo 2
Na parametrização esférica tomamos
com , . Calculamos
O vetor normal orientado para fora da esfera é
e seu módulo é
O campo em coordenadas esféricas vale
F(alpha(u,v)) =(sin ucos v,;sin usin v,;0),
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Fcdot(alphautimesalphav) =sin ucos v;sin^2ucos v +sin usin v;sin^2usin v =sin^3u(cos^2v+sin^2v) =sin^3u
Portanto o fluxo é
integral duplaS Fcdot n,dS =integralv=0^2pi!integralu=0^pi/2sin^3u,du,dv =2piintegral0^pi/2sin^3u,du
E sabe-se que
integral0^pi/2sin^3u,du=tfrac23,
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integral duplaS Fcdot n,dS =2picdottfrac23 =tfrac4pi3
Passo 3
Agora usamos a representação explicita z=g(x,y)=raiz1-x^2-y^2 sobre o disco Dcolon x^2+y^2<=1. A orientação para fora coincide com a normal “para cima”