Problema 59 Determine o domínio da função f(x)=raizx^2-10 x+9-2+5 x.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=raizx^2-10x+9-2+5x
Aqui precisamos garantir duas coisas:
1. O denominador não pode ser zero: -2+5xneq0.
2. O radicando deve ser não-negativo:
x^2-10x+9-2+5x>=0
Para resolver isso, vamos transformar o radicando numa inequação de sinal de expressão racional.

Passo 2

Primeiro fatoramos o numerador e escrevemos o denominador de forma canônica:
x^2-10x+9=(x-1)(x-9), -2+5x=5x-2
Logo o radicando vira
(x-1)(x-9)5x-2>=0,
com a ressalva de que 5x-2neq0, ou seja, xneq25.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos que tornam numerador ou denominador zero:
x=1, x=9, x=25
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos. Vamos estudar o sinal de
(x-1)(x-9)5x-2
em cada intervalo:
  • Para x<tfrac25: numerador (x-1)(x-9)>0, denominador 5x-2<0 Rightarrow quociente <0.
  • Para tfrac25<x<1: numerador >0, denominador >0Rightarrow quociente >0.
  • Para 1<x<9: numerador <0, denominador >0Rightarrow quociente <0.
  • Para x>9: numerador >0, denominador >0Rightarrow quociente >0.

Passo 4

Como queremos
(x-1)(x-9)5x-2>=0,
devemos escolher os intervalos em que o quociente é positivo e também permitir os zeros do numerador (desde que o denominador não anule). Assim:
  • No intervalo l(tfrac25,1r) o quociente é positivo, e em x=1 ele vale zero (permitido).
  • No intervalo (9,infty) o quociente é positivo, e em x=9 vale zero (permitido).
    O ponto x=tfrac25 fica excluído porque anula o denominador.

Resposta

O domínio de f é
(25,1];cup;l[9,inftyr)

Exercícios relacionados