Prove que as funções abaixo são contínuas (em todos os pontos):
f: R R com regra f(x)=a x+b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon RtoR dada por
f(x)=a,x+b
é contínua em todo xinR.
O conteúdo necessário é a definição de continuidade via epsilon-delta: mostrar que, para cada ponto c e para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-c|<de<aLongrightarrow|f(x)-f(c)|<epsilon

Passo 2

Fixe um ponto arbitrário cinR. Queremos provar que
limxto cf(x)=f(c).
Pela definição, dado epsilon>0, precisamos encontrar de<a>0 satisfazendo
|x-c|<de<aLongrightarrow|f(x)-f(c)|<epsilon

Passo 3

Calcule a diferença de valores:
|f(x)-f(c)| =l|a,x+b-l(a,c+br)r| =l|a,(x-c)r| =|a|,|x-c|

Passo 4

Há dois casos:
  1. Se a=0, então f(x)=b é constante e
|f(x)-f(c)|=|b-b|=0<epsilon
para qualquer de<a>0. Logo f é contínua em c.
2. Se aneq0, escolha
de<a=epsilon|a|
Então, sempre que |x-c|<de<a, temos
|f(x)-f(c)|=|a|,|x-c|<|a|;epsilon|a|=epsilon
Isso prova a continuidade em c.

Passo 5

Como c foi um ponto qualquer de R, a função f(x)=a,x+b é contínua em todos os xinR.

Resposta

A função f(x)=a,x+b é contínua em todo R.

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