Prove que as funções abaixo são contínuas (em todos os pontos): com regra .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função dada por
é contínua em todo .
O conteúdo necessário é a definição de continuidade via epsilon-delta: mostrar que, para cada ponto e para todo , existe tal que
Passo 2
Fixe um ponto arbitrário . Queremos provar que .
Pela definição, dado , precisamos encontrar satisfazendo
Passo 3
Calcule a diferença de valores:
Passo 4
Há dois casos:
Se a=0, então f(x)=b é constante e
|f(x)-f(c)|=|b-b|=0<epsilon
para qualquer de<a>0. Logo f é contínua em c.
2. Se aneq0, escolha
de<a=epsilon|a|
Então, sempre que |x-c|<de<a, temos
|f(x)-f(c)|=|a|,|x-c|<|a|;epsilon|a|=epsilon
Isso prova a continuidade em c.
Passo 5
Como c foi um ponto qualquer de R, a função f(x)=a,x+b é contínua em todos os xinR.