Exercício 8. (Apostol seção 12.21 exercícios (4,5,6,7,8,9) ) Nos exercícios abaixo (n) é sempre a normal que aponta para fora da superfície fechada (S), na qual vale o teorema da divergência. Suponha que (V) seja a região que se localiza dentro da superfície (S). Denotamos também (\frac{\partial f}{\partial n}=\langle\nabla f, n\rangle) derivada direcional em direção a (n) e (\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial y{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial z^{2}}). Assume continuidade de tantas derivadas quanto forem necessárias e prove que
(\iint_{S} \frac{\partial f}{\partial n} d S=\iiint_{V} \Delta f d x d y d z).
(\iint_{S} \frac{\partial f}{\partial n} d S=\iiint_{V} \Delta f d x d y d z).
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para uma função suficientemente suave
definida em uma região sólida
cujo contorno é a superfície fechada
com normal externa
, vale
onde
é a derivada direcional de
na direção de
e
é o operador Laplaciano. O conteúdo principal a usar é o Teorema da Divergência (ou Gauss).
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Como
é formado pelas derivadas parciais de
, é contínuo e tem divergência bem definida. Note que
logo
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência em
com contorno
, obtemos
Substituindo
e
, segue-se imediatamente a identidade desejada.