Exercício 8. (Apostol seção 12.21 exercícios (4,5,6,7,8,9) ) Nos exercícios abaixo (n) é sempre a normal que aponta para fora da superfície fechada (S), na qual vale o teorema da divergência. Suponha que (V) seja a região que se localiza dentro da superfície (S). Denotamos também (\frac{\partial f}{\partial n}=\langle\nabla f, n\rangle) derivada direcional em direção a (n) e (\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial y{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial z^{2}}). Assume continuidade de tantas derivadas quanto forem necessárias e prove que
(\iint_{S} \frac{\partial f}{\partial n} d S=\iiint_{V} \Delta f d x d y d z).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para uma função suficientemente suave f definida em uma região sólida V cujo contorno é a superfície fechada S com normal externa n, vale
integral duplaSpartial fpartial n,dS ;=;integral triplaVDe<a f,dx,dy,dz,
onde partial fpartial n=lang<=nabla f,nrang<= é a derivada direcional de f na direção de n e De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2 é o operador Laplaciano. O conteúdo principal a usar é o Teorema da Divergência (ou Gauss).

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F = nabla f
Como F é formado pelas derivadas parciais de f, é contínuo e tem divergência bem definida. Note que
Fcdot n ;=;lang<=nabla f,nrang<= ;=;partial fpartial n,
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integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral duplaSpartial fpartial n,dS

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
divF ;=;div(nabla f) ;=;De<a f

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência em V com contorno S, obtemos
integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral triplaVdivF,dx,dy,dz
Substituindo Fcdot n=tfracpartial fpartial n e divF=De<a f, segue-se imediatamente a identidade desejada.

Resposta

integral duplaSpartial fpartial n,dS ;=;integral triplaVDe<a f,dx,dy,dz

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