Exercício 10. Determine o quociente e o resto na divisão de f(x) por g(x).
f(x)=10 x^5+15 x^4-10 x^3-8 x^2 e g(x)=2 x^3+4 x^2-17 x-6

Passo 1

O enunciado pede a divisão do polinômio
f(x)=10x^5+15x^4-10x^3-8x^2
pelo polinômio
g(x)=2x^3+4x^2-17x-6
Este é um caso de divisão de polinômios em que vamos usar o método da chave (ou long division), encontrando termo a termo o quociente e atualizando o resto.

Passo 2

Dividimos o termo de maior grau de f pelo termo de maior grau de g:
10x^52x^3=5x^2
Multiplicamos g(x) por 5x^2 e subtraímos de f(x):
5x^2cdot g(x)=10x^5+20x^4-85x^3-30x^2,
f(x)-5x^2g(x)=-5x^4+75x^3+22x^2

Passo 3

Agora dividimos o novo termo de maior grau pelo termo de maior grau de g:
-5x^42x^3=-52x
Multiplicamos g(x) por -tfrac52x e subtraímos:
-tfrac52xcdot g(x)=-5x^4-10x^3+tfrac852x^2+15x,
(-5x^4+75x^3+22x^2)-(-5x^4-10x^3+tfrac852x^2+15x) =85x^3-tfrac412x^2-15x

Passo 4

Repetimos o processo:
85x^32x^3=852
Multiplicamos g(x) por tfrac852 e subtraímos:
tfrac852cdot g(x)=85x^3+170x^2-tfrac14452x-255,
(85x^3-tfrac412x^2-15x)-l(85x^3+170x^2-tfrac14452x-255r) =-tfrac3812x^2+tfrac14152x+255

Passo 5

O grau do resto -tfrac3812x^2+tfrac14152x+255 é menor que o grau de g(x) (que é 3), logo terminamos.
O quociente é
q(x)=5x^2-52x+852,
e o resto é
r(x)=-3812x^2+14152x+255

Resposta

Quociente: ;5x^2-tfrac52x+tfrac852.
Resto: -tfrac3812x^2+tfrac14152x+255.

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