Exercício 7. (Apostol seção 12.10 exercício 12 e 13) Um fluido tem fluxo
dado por
. Seja
o hemisfério
e
a normal que aponta para fora da esfera.
a) Calcule a massa de fluido que passa por
por unidade de tempo na direção
.
b) Repita o cálculo supondo que
também contém a parte plana da base do hemisfério, supondo que nesta basa plana a normal
é igual a
.
a) Calcule a massa de fluido que passa por
b) Repita o cálculo supondo que
Passo 1
O enunciado dá o campo de fluxo
e pede a taxa de massa de fluido que atravessa
) o hemisfério
com normal externa à esfera,
) o mesmo hemisfério mais o disco de base
, com normal no disco sendo
.
Em ambos os casos queremos calcular
Em ambos os casos queremos calcular
Passo 2
No hemisfério unitário, o vetor normal unitário externo é exatamente
pois
tem módulo
. Assim em
temos
Passo 3
Para montar o integral de superfície, usamos coordenadas esféricas:
com
,
, e
Substituindo em
, fica
Passo 4
Note que
e
,
por isso apenas o termo contribui ao integral em
. Então
por isso apenas o termo
Passo 5
Fazendo
,
, quando
vem
e
vem
. Assim
Logo
Passo 6
Para a parte (b), o novo
é fechado (hemisfério
disco em
, normal
). Pelo Teorema da Divergência,
Como
e
é metade de uma bola de raio
, temos
. Logo
Como o fluxo pelo disco de base é
concluímos que o fluxo pelo hemisfério isolado já era
, e o fechado dá também
.
Resposta
a)
b)
b)