Exercício 7. (Apostol seção 12.10 exercício 12 e 13) Um fluido tem fluxo F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)= (x,-2 x-y, z). Seja S o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0 e n a normal que aponta para fora da esfera.
a) Calcule a massa de fluido que passa por S por unidade de tempo na direção n.
b) Repita o cálculo supondo que S também contém a parte plana da base do hemisfério, supondo que nesta basa plana a normal n é igual a -k.

Passo 1

O enunciado dá o campo de fluxo
F(x,y,z) = (x,,-2x - y,,z)
e pede a taxa de massa de fluido que atravessa
1) o hemisfério Scolon x^2+y^2+z^2=1,;z>=0 com normal externa à esfera,
2) o mesmo hemisfério mais o disco de base z=0, com normal no disco sendo -k.
Em ambos os casos queremos calcular
integral duplaS Fcdot n,dS

Passo 2

No hemisfério unitário, o vetor normal unitário externo é exatamente
n=(x,y,z),
pois (x,y,z) tem módulo 1. Assim em S temos
Fcdot n = xcdot x +(-2x-y)cdot y + zcdot z = x^2 -2xy -y^2 + z^2

Passo 3

Para montar o integral de superfície, usamos coordenadas esféricas:
x = sinphicostheta, y=sinphisintheta, z=cosphi,
com phiin[0,tfracpi2], thetain[0,2pi], e
dS = sinphi,dphi,dtheta
Substituindo em Fcdot n, fica
Fcdot n = sin^2phicos^2theta ;-;sin^2phisin^2theta ;+;cos^2phi ;-;2sin^2phicosthetasintheta

Passo 4

Note que
integral0^2picos2theta,dtheta=0 e integral0^2pisin2theta,dtheta=0,
por isso apenas o termo cos^2phi contribui ao integral em theta. Então
integral duplaSrm hemiFcdot n,dS = integral0^2pi!!integral0^pi/2cos^2phi,sinphi,dphi,dtheta =2piintegral0^pi/2cos^2phi,sinphi,dphi

Passo 5

Fazendo u=cosphi, du=-sinphi,dphi, quando phi=0 vem u=1 e phi=pi/2 vem u=0. Assim
integral0^pi/2cos^2phi,sinphi,dphi =integral1^0u^2(-du) =integral0^1u^2,du =13
Logo
integral duplaSrm hemiFcdot n,dS =2picdot13 =2pi3

Passo 6

Para a parte (b), o novo S é fechado (hemisfério + disco em z=0, normal -k). Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSrm fechadoFcdot n,dS =integral triplaVnabla!cdot F,dV
Como
nabla!cdot F =partial xpartial x +partial(-2x-y)partial y +partial zpartial z =1-1+1=1,
e V é metade de uma bola de raio 1, temos Vol(V)=tfrac12cdottfrac4pi3=tfrac2pi3. Logo
integral duplaSrm fechadoFcdot n,dS =integralV1,dV =2pi3
Como o fluxo pelo disco de base é
integral dupladiscoFcdot(-k),dS =-integral dupladiscoFz,dS =-integral dupladisco0,dS =0,
concluímos que o fluxo pelo hemisfério isolado já era tfrac2pi3, e o fechado dá também tfrac2pi3.

Resposta

a) 2pi3
b) 2pi3

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