Exercício 8. (Apostol seção 12.21 exercícios (4,5,6,7,8,9) ) Nos exercícios abaixo (n) é sempre a normal que aponta para fora da superfície fechada (S), na qual vale o teorema da divergência. Suponha que (V) seja a região que se localiza dentro da superfície (S). Denotamos também (\frac{\partial f}{\partial n}=\langle\nabla f, n\rangle) derivada direcional em direção a (n) e (\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial y{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial z^{2}}). Assume continuidade de tantas derivadas quanto forem necessárias e prove que
(\iint_{S} f \frac{\partial g}{\partial n} d S=\iint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} d S) se (\Delta f=\Delta g=0).

Passo 1

O enunciado considera duas funções f e g definidas em uma região sólida V de R^3 com fronteira fechada S, cuja normal externa é n. Queremos mostrar que, se ambas são harmônicas em V, isto é,
De<a f = 0 e De<a g = 0,
então vale
integral duplaS f,partial gpartial n,dS = integral duplaS g,partial fpartial n,dS
Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência e a regra do produto para divergências.

Passo 2

Definimos os campos vetoriais
A = f,nabla g, B = g,nabla f
Pela regra do produto para divergência, temos
div(f,nabla g) = nabla fcdotnabla g + f,De<a g,
div(g,nabla f) = nabla gcdotnabla f + g,De<a f

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência em V para A e B, e lembrando que partial gpartial n = nabla gcdot n, obtemos
integral duplaS f,partial gpartial n,dS = integral triplaV div(f,nabla g),dV,
integral duplaS g,partial fpartial n,dS = integral triplaV div(g,nabla f),dV

Passo 4

Subtraindo as duas igualdades:
integral duplaSl(f,tfracpartial gpartial n-g,tfracpartial fpartial nr)dS = integral triplaVl(div(f,nabla g)-div(g,nabla f)r)dV
No interior do volume,
div(f,nabla g)-div(g,nabla f) = l(nabla fcdotnabla g + f,De<a gr) - l(nabla gcdotnabla f + g,De<a fr) = f,De<a g - g,De<a f
Como De<a f=De<a g=0, o integrando se anula e, portanto, a integral de superfície satisfaz
integral duplaSf,partial gpartial n,dS -integral duplaSg,partial fpartial n,dS =0

Resposta

integral duplaS f,partial gpartial n,dS = integral duplaS g,partial fpartial n,dS

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