Exercício 8. (Apostol seção 12.21 exercícios (4,5,6,7,8,9) ) Nos exercícios abaixo (n) é sempre a normal que aponta para fora da superfície fechada (S), na qual vale o teorema da divergência. Suponha que (V) seja a região que se localiza dentro da superfície (S). Denotamos também (\frac{\partial f}{\partial n}=\langle\nabla f, n\rangle) derivada direcional em direção a (n) e (\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial y{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial z^{2}}). Assume continuidade de tantas derivadas quanto forem necessárias e prove que
(\iint_{S} f \frac{\partial g}{\partial n} d S=\iint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} d S) se (\Delta f=\Delta g=0).
(\iint_{S} f \frac{\partial g}{\partial n} d S=\iint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} d S) se (\Delta f=\Delta g=0).
Passo 1
O enunciado considera duas funções
e
definidas em uma região sólida
de
com fronteira fechada
, cuja normal externa é
. Queremos mostrar que, se ambas são harmônicas em
, isto é,
então vale
Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência e a regra do produto para divergências.
Passo 2
Definimos os campos vetoriais
Pela regra do produto para divergência, temos
Passo 3
Aplicando o Teorema da Divergência em
para
e
, e lembrando que
, obtemos
Passo 4
Subtraindo as duas igualdades:
No interior do volume,
Como
, o integrando se anula e, portanto, a integral de superfície satisfaz