Prove, pela definição, que a função dada seja contínua no ponto dado:
f(x)=x^3 em p=1,

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite, que a função
f(x)=x^3
é contínua em p=1. Em outras palavras, precisamos provar que
limxto1f(x)=f(1)=1
Pela definição de continuidade, devemos mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-1|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(1)|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença |f(x)-f(1)|:
|f(x)-f(1)| = |x^3-1^3| = |x-1|;l|x^2+x+1r|

Passo 3

Para controlar o fator l|x^2+x+1r|, escolhemos de<a<=1. Então, sempre que |x-1|<de<a<=1, temos
|x| = |x-1+1|<= |x-1|+|1| < 1+1 = 2,
portanto
|x^2+x+1|<= |x|^2+|x|+1 < 2^2+2+1 = 7
Assim, sob a condição |x-1|<de<a<=1, vale
|f(x)-f(1)| = |x-1|;|x^2+x+1| < 7,|x-1|

Passo 4

Para garantir |f(x)-f(1)|<varepsilon, basta exigir
7,|x-1| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x-1| < varepsilon7
Escolhemos então
de<a = minl1,;varepsilon7r
Com essa definição, sempre que |x-1|<de<a teremos simultaneamente |x-1|<1 (para controlar o polinômio) e |x-1|<varepsilon/7 (para satisfazer o epsilon), o que implica
|f(x)-f(1)| < 7,|x-1| < 7cdotvarepsilon7 = varepsilon

Resposta

Logo, para todo varepsilon>0 existe de<a=min1,varepsilon/7>0 tal que |x-1|<de<a implica |f(x)-f(1)|<varepsilon. Pelo critério de continuidade pela definição, concluímos que f(x)=x^3 é contínua em p=1.

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