Exercício 8. (Apostol seção 12.21 exercícios (4,5,6,7,8,9) ) Nos exercícios abaixo (n) é sempre a normal que aponta para fora da superfície fechada (S), na qual vale o teorema da divergência. Suponha que (V) seja a região que se localiza dentro da superfície (S). Denotamos também (\frac{\partial f}{\partial n}=\langle\nabla f, n\rangle) derivada direcional em direção a (n) e (\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial y{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial z^{2}}). Assume continuidade de tantas derivadas quanto forem necessárias e prove que
(\iint_{S} f \frac{\partial f}{\partial n} d S=\iiint_{V}|\nabla f|^{2} d x d y d z) se (\Delta f=0).
(\iint_{S} f \frac{\partial f}{\partial n} d S=\iiint_{V}|\nabla f|^{2} d x d y d z) se (\Delta f=0).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma função duas vezes continuamente diferenciável em
e satisfaz
então, para a superfície fechada
com normal unitária externa
, vale
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência (Gauss) e a identidade para a divergência do campo vetorial
.
Passo 2
Aplicamos o Teorema da Divergência ao campo vetorial
Esse teorema diz que, como
é continuamente diferenciável em
,
Mas, por definição,
Logo
Passo 3
Agora calculamos a divergência de
. Usando a regra do produto para divergência, temos
Como
, isso fica
Passo 4
Pelo enunciado,
em
. Substituindo na expressão da divergência, obtemos
Então a integral de volume do divergente é
Passo 5
Reunindo os resultados:
Isso é exatamente o que queríamos provar sob a hipótese
.