Exercício 8. (Apostol seção 12.21 exercícios (4,5,6,7,8,9) ) Nos exercícios abaixo (n) é sempre a normal que aponta para fora da superfície fechada (S), na qual vale o teorema da divergência. Suponha que (V) seja a região que se localiza dentro da superfície (S). Denotamos também (\frac{\partial f}{\partial n}=\langle\nabla f, n\rangle) derivada direcional em direção a (n) e (\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial y{2}}+\frac{\partial{2}}{\partial z^{2}}). Assume continuidade de tantas derivadas quanto forem necessárias e prove que
(\iint_{S} f \frac{\partial f}{\partial n} d S=\iiint_{V}|\nabla f|^{2} d x d y d z) se (\Delta f=0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é uma função duas vezes continuamente diferenciável em VsubsetR^3 e satisfaz
De<a f = 0 em V,
então, para a superfície fechada S=partial V com normal unitária externa n, vale
integral duplaS f,partial fpartial n,dS ;=;integral triplaV|nabla f|^2,dV
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência (Gauss) e a identidade para a divergência do campo vetorial F=f,nabla f.

Passo 2

Aplicamos o Teorema da Divergência ao campo vetorial
F = f,nabla f
Esse teorema diz que, como F é continuamente diferenciável em Vcup S,
integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral triplaVnablacdot F,dV
Mas, por definição,
Fcdot n = (f,nabla f)cdot n = f,lang<= nabla f, nrang<= = f,partial fpartial n
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integral duplaS f,partial fpartial n,dS =integral duplaSFcdot n,dS =integral triplaVnablacdot F,dV

Passo 3

Agora calculamos a divergência de F=f,nabla f. Usando a regra do produto para divergência, temos
nablacdot(f,nabla f) =nabla fcdotnabla f ;+; f,nablacdot(nabla f)
Como nablacdot(nabla f)=De<a f, isso fica
nablacdot(f,nabla f) =|nabla f|^2 ;+; f,De<a f

Passo 4

Pelo enunciado, De<a f=0 em V. Substituindo na expressão da divergência, obtemos
nablacdot F =|nabla f|^2 + fcdot 0 =|nabla f|^2
Então a integral de volume do divergente é
integral triplaVnablacdot F,dV =integral triplaV|nabla f|^2,dV

Passo 5

Reunindo os resultados:
integral duplaS f,partial fpartial n,dS =integral triplaVnablacdot F,dV =integral triplaV|nabla f|^2,dV
Isso é exatamente o que queríamos provar sob a hipótese De<a f=0.

Resposta

integral duplaS f,partial fpartial n,dS =integral triplaV|nabla f|^2,dV

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