Exercício 5
Considere a 2-forma diferencial omega(x, y, z)=f1(x, y, z) d y wed>= d z+f2(x, y, z) d z wed>= d x+f3(x, y, z) d x wed>= d y em R^3. Existe uma função g tal que d omega(x, y, z)=g(x, y, z) d x wed>= d y wed>= d z. Quem é essa função? Justifique calculando d omega.

Passo 1

O enunciado pede o diferencial exterior de uma 2-forma em R^3:
omega = f1(x,y,z),dywed>= dz + f2(x,y,z),dzwed>= dx + f3(x,y,z),dxwed>= dy
O conteúdo que vamos usar é que, para qualquer função f e qualquer forma alpha,
d(f,alpha) = dfwed>= alpha,
e que
df = partial fpartial xdx + partial fpartial ydy + partial fpartial zdz

Passo 2

Calculemos primeiro
dl(f1,dywed>= dzr) = df1wed>= dywed>= dz
Como
df1 = partial f1partial xdx + partial f1partial ydy + partial f1partial zdz,
só o termo com dx sobrevive ao wedge com dywed>= dz. Logo,
dl(f1,dywed>= dzr) = partial f1partial x,dxwed>= dywed>= dz

Passo 3

Agora
dl(f2,dzwed>= dxr) = df2wed>= dzwed>= dx
e
df2 = partial f2partial xdx + partial f2partial ydy + partial f2partial zdz
Somente o termo com dy contribui, pois
dywed>= dzwed>= dx = dxwed>= dywed>= dz (3-ciclo de signo +1)
Portanto,
dl(f2,dzwed>= dxr) = partial f2partial y,dxwed>= dywed>= dz

Passo 4

Finalmente,
dl(f3,dxwed>= dyr) = df3wed>= dxwed>= dy,
com
df3 = partial f3partial xdx + partial f3partial ydy + partial f3partial zdz
Aqui só o termo com dz importa, pois
dzwed>= dxwed>= dy = dxwed>= dywed>= dz (outro 3-ciclo de signo +1)
Logo,
dl(f3,dxwed>= dyr) = partial f3partial z,dxwed>= dywed>= dz

Passo 5

Somando os três resultados:
domega = l(partialx f1 + partialy f2 + partialz f3r),dxwed>= dywed>= dz
Portanto, a função g que aparece em domega = g,dxwed>= dywed>= dz é a divergência do vetor (f1,f2,f3):
g(x,y,z) = partial f1partial x + partial f2partial y + partial f3partial z

Resposta

g(x,y,z) = partial f1partial x + partial f2partial y + partial f3partial z

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