Exercício 3. (Apostol seção 13.4 exercícios 10) Sejam A e B dois subconjuntos de um conjunto S. Definimos a diferença simétrica de A e B por A De<a B:=(A backslash B) cup(B backslash A). Prove as propriedades abaixo:
Se f: B R é uma função finitamente aditiva numa álgebra Booleana B que contém A e B, então
f(A triang<= B)=f(A)+f(B)-2 f(A cap B)

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica
Atriang<= B ;=;(Asetminus B);cup;(Bsetminus A)
e diz que fcolonBtoR é finitamente aditiva, isto é, sempre que Xcap Y=emptyset em B vale
f(Xcup Y)=f(X)+f(Y)
Queremos usar essa aditividade e decompor adequadamente A e B para obter
f(Atriang<= B)=f(A)+f(B)-2f(Acap B)

Passo 2

Pela própria definição de diferença simétrica, temos
Atriang<= B=(Asetminus B)cup(Bsetminus A),
e nota-se que (Asetminus B)cap(Bsetminus A)=emptyset. Então, pela aditividade finita,
f(Atriang<= B) =fl(Asetminus Br)+fl(Bsetminus Ar)

Passo 3

Agora decomponha A e B em uniões disjuntas que envolvem Acap B:
A=(Asetminus B)cup(Acap B), (Asetminus B)cap(Acap B)=emptyset,
B=(Bsetminus A)cup(Acap B), (Bsetminus A)cap(Acap B)=emptyset
Aplicando aditividade finita em cada caso, obtém-se
f(A)=f(Asetminus B)+f(Acap B), f(B)=f(Bsetminus A)+f(Acap B)
Dessa forma
f(Asetminus B)=f(A)-f(Acap B), f(Bsetminus A)=f(B)-f(Acap B)

Passo 4

Substituindo essas expressões na fórmula do Passo 2, concluímos
f(Atriang<= B) =l(f(A)-f(Acap B)r) +l(f(B)-f(Acap B)r) =f(A)+f(B)-2,f(Acap B)

Resposta

f(Atriang<= B)=f(A)+f(B)-2,f(Acap B)

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