Exercício 3. (Apostol seção 13.4 exercícios 10) Sejam
e
dois subconjuntos de um conjunto
. Definimos a diferença simétrica de
e
por
. Prove as propriedades abaixo:
Se
é uma função finitamente aditiva numa álgebra Booleana
que contém
e
, então
Se
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica
e diz que
é finitamente aditiva, isto é, sempre que
em
vale
Queremos usar essa aditividade e decompor adequadamente
e
para obter
Passo 2
Pela própria definição de diferença simétrica, temos
e nota-se que
. Então, pela aditividade finita,
Passo 3
Agora decomponha
e
em uniões disjuntas que envolvem
:
Aplicando aditividade finita em cada caso, obtém-se
Dessa forma
Passo 4
Substituindo essas expressões na fórmula do Passo 2, concluímos