Exercício 4. (Apostol seção 13.7 exercícios 14 e 16)
Sejam A e B eventos. Mostre que
P(A cap B) <= P(A) <= P(A cup B) <= P(A)+P(B)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a cadeia de desigualdades entre probabilidades de eventos A e B:
P(Acap B);<=;P(A);<=;P(Acup B);<=;P(A)+P(B)
O conteúdo que usamos é a propriedade de monotonicidade de uma medida de probabilidade (se um conjunto está contido em outro, a probabilidade não cresce) e a fórmula de inclusão–exclusão para dois eventos:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)

Passo 2

Aplicando monotonicidade de probabilidade: se Xsubseteq Y então P(X)<= P(Y).
  1. Como Acap Bsubseteq A, temos
P(Acap B)<= P(A)
  1. Como Asubseteq Acup B, temos
P(A)<= P(Acup B)

Passo 3

Agora usamos a fórmula de inclusão–exclusão:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Como P(Acap B)>=0, segue
P(Acup B);=;P(A)+P(B)-P(Acap B);<=;P(A)+P(B)

Resposta

P(Acap B);<=;P(A);<=;P(Acup B);<=;P(A)+P(B)

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