Exercício 4. (Apostol seção 13.7 exercícios 14 e 16)
Sejam
e
eventos. Mostre que
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a cadeia de desigualdades entre probabilidades de eventos
e
:
O conteúdo que usamos é a propriedade de monotonicidade de uma medida de probabilidade (se um conjunto está contido em outro, a probabilidade não cresce) e a fórmula de inclusão–exclusão para dois eventos:
Passo 2
Aplicando monotonicidade de probabilidade: se
então
.
- Como
, temos
- Como
, temos
Passo 3
Agora usamos a fórmula de inclusão–exclusão:
Como
, segue