1. Determine a equação das retas tangentes à circunferência x^2+y^2=1, que passam pelo ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à circunferência
x^2+y^2=1
que passam pelo ponto P=(1,2).
O conteúdo aqui é retas tangentes a círculos e vamos usar a condição de tangência via discriminante nulo (sistema ponto-reta e circunferência tem solução dupla).

Passo 2

Primeiro suponha que a reta não seja vertical. Então sua equação geral passando por P é
y - 2 = m,(x - 1)
Substituindo na circunferência, temos
x^2 + l[m(x-1)+2r]^2 = 1

Passo 3

Expandindo,
x^2 + m^2(x-1)^2 + 4m(x-1) + 4 = 1
que reorganiza em
(1+m^2),x^2 + 2m(2-m),x + l(m^2-4m+3r)=0
Para que essa intersecção seja tangente, o discriminante em x deve ser zero:
De<a = [2m(2-m)]^2 - 4(1+m^2)(m^2-4m+3) = 0
Ao simplificar dá
4m - 3 = 0 Longrightarrow m = tfrac34

Passo 4

Substituindo m=tfrac34 em y-2 = m(x-1) encontra-se
y - 2 = tfrac34(x-1) Longrightarrow y = tfrac34x + tfrac54

Passo 5

Falta ainda a reta vertical que passa por P, ou seja,
x = 1
Substituindo x=1 na circunferência obtém-se 1 + y^2 =1Rightarrow y=0 (única solução), confirmando que é tangente.

Resposta

As retas tangentes são
x = 1
e
y = 34x + 54

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