Exercício 8. (Apostol seção 1.13 exercícios 3., 4., 5., 6.) Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈.,.〉: V times V R e ||: V [0, infty[ a norma que vem deste produto interno. Mostre que as seguintes afirmações são válidas:
lang<= u, vrang<==0 se, e somente se, |u+v|^2=|u|^2+|v|^2.

Passo 1

O enunciado afirma que em um espaço vetorial real V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e norma induzida |cdot| vale
lang<= u,vrang<= = 0 Long<=ftrightarrow |u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2
Para provar isso, vamos usar a bilinearidade e a simetria do produto interno e a definição de norma |w|^2 = lang<= w,wrang<=.

Passo 2

Calculemos |u+v|^2 a partir da definição:
|u+v|^2 ;=;lang<= u+v,,u+vrang<= ;=;lang<= u,urang<= + lang<= u,vrang<= + lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<=
Como o produto interno em V é simétrico, lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=. Logo,
|u+v|^2 = |u|^2 + 2,lang<= u,vrang<= + |v|^2

Passo 3

Se lang<= u,vrang<= = 0, então da identidade acima segue imediatamente
|u+v|^2 = |u|^2 + 2cdot 0 + |v|^2 = |u|^2 + |v|^2

Passo 4

Reciprocamente, suponha que
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2
Comparando com
|u+v|^2 = |u|^2 + 2,lang<= u,vrang<= + |v|^2
vemos que 2,lang<= u,vrang<= = 0, de onde lang<= u,vrang<= = 0.

Resposta

Fica assim demonstrado que
lang<= u,vrang<= = 0 Long<=ftrightarrow |u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2

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