Exercício 8. (Apostol seção 1.13 exercícios 3., 4., 5., 6.) Seja
um espaço vetorial com produto interno 〈.,.〉:
e
a norma que vem deste produto interno. Mostre que as seguintes afirmações são válidas:
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado afirma que em um espaço vetorial real
com produto interno
e norma induzida
vale
Para provar isso, vamos usar a bilinearidade e a simetria do produto interno e a definição de norma
.
Passo 2
Calculemos
a partir da definição:
Como o produto interno em
é simétrico,
. Logo,
Passo 3
Se
, então da identidade acima segue imediatamente
Passo 4
Reciprocamente, suponha que
Comparando com
vemos que
, de onde
.
Resposta
Fica assim demonstrado que