(2, 0 pontos): Determine se a integral é convergente ou divergente. E calcule seu valor caso seja convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
e, se convergente, calcular seu valor. O ponto de atenção é que o integrando fica singular em
, logo trata-se de uma integral imprópria do tipo
. Para analisar convergência, usaremos o critério das p-integrals:
converge se, e somente se,
.
Passo 2
Reescrevemos a integral como um limite que afasta a singularidade:
Passo 3
Perceba que, perto de
, basta estudar
.
Fazendo , isso vira
,
que é uma p-integral com . Portanto essa parte converge e, por extensão, a integral original converge.
Fazendo
que é uma p-integral com
Passo 4
Para calcular o valor, fazemos a substituição
, de modo que quando
temos
e quando
temos
. Assim,
Fazendo
, obtemos
.
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.