(2, 0 pontos): Determine se a integral é convergente ou divergente. E calcule seu valor caso seja convergente.
integral3^4 1raizx-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral3^4 1raizx-3,dx
e, se convergente, calcular seu valor. O ponto de atenção é que o integrando fica singular em x=3, logo trata-se de uma integral imprópria do tipo tfrac1(x-3)^1/2. Para analisar convergência, usaremos o critério das p-integrals:
integral0^1t^-p,dt converge se, e somente se, p<1.

Passo 2

Reescrevemos a integral como um limite que afasta a singularidade:
integral3^4 1raizx-3,dx =limvarepsilonto0^+ integral3+varepsilon^4 1raizx-3,dx

Passo 3

Perceba que, perto de x=3, basta estudar
integral3^3+de<a(x-3)^-1/2dx.
Fazendo t=x-3, isso vira
integral0^de<at^-1/2,dt,
que é uma p-integral com p=tfrac12<1. Portanto essa parte converge e, por extensão, a integral original converge.

Passo 4

Para calcular o valor, fazemos a substituição u=x-3, de modo que quando x=3+varepsilon temos u=varepsilon e quando x=4 temos u=1. Assim,
integral3+varepsilon^4 1raizx-3,dx =integralvarepsilon^1 u^-1/2,du =l[2raizur]varepsilon^1 =2-2raizvarepsilon
Fazendo varepsilonto0^+, obtemos 2.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 2.

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