Exercício 7 (Produtos cartesianos). Verifique que o produto cartesiano
de duas (ou, mais geralmente, de qualquer número finito de) superficies diferenciáveis
-
de dimensão
em
e
-
de dimensão
em
é uma superfície de dimensão
em
, cuja classe de diferenciabilidade é a menor dentre as duas.
é uma superfície de dimensão
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
é uma superfície diferenciável de dimensão
e classe
, e
é uma superfície diferenciável de dimensão
e classe
,
então o produto cartesiano
é uma superfície diferenciável de dimensão e classe
.
Para isso vamos usar a existência de parametrizações locais de superfícies e o cálculo do posto do diferencial.
então o produto cartesiano
é uma superfície diferenciável de dimensão
Para isso vamos usar a existência de parametrizações locais de superfícies e o cálculo do posto do diferencial.
Passo 2
Escolha um ponto
. Por definição de superfície, existem abertos
,
e parametrizações
tais que
é homeomorfismo de classe
sobre uma vizinhança de
em
, e
é homeomorfismo de classe
sobre uma vizinhança de
em
. Além disso,
e
.
Passo 3
Consideremos o mapeamento
O domínio
é aberto em
. Como
é
e
é
, segue que
é de classe
com
.
A imagem de
é exatamente uma vizinhança de
em
, e
é injetora e tem inversa contínua dada pelas projeções das coordenadas nas parametrizações originais. Logo
é um chart local de
.
Passo 4
Vamos calcular o diferencial de
em
. Se
, então
Em coordenadas matrizes, essa derivada tem a forma de um bloco diagonal
Passo 5
O posto de
é a soma dos postos dos blocos diagonais, isto é,
Como esse posto é máximo possível igual a
, concluímos que
é uma parametrização de superfície de dimensão
.
Resposta
O produto cartesiano
é uma superfície diferenciável em
de dimensão
e classe de diferenciabilidade
.