Exercício 7 (Produtos cartesianos). Verifique que o produto cartesiano M times N subseteq R^m times R^k de duas (ou, mais geralmente, de qualquer número finito de) superficies diferenciáveis
  • M subseteq R^m de dimensão p em R^m e
  • N subseteq R^k de dimensão q em R^k
    é uma superfície de dimensão p+q em R^m times R^k, cuja classe de diferenciabilidade é a menor dentre as duas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se
MsubseteqR^m é uma superfície diferenciável de dimensão p e classe r1, e
NsubseteqR^k é uma superfície diferenciável de dimensão q e classe r2,
então o produto cartesiano
Mtimes NsubseteqR^mtimesR^k
é uma superfície diferenciável de dimensão p+q e classe
r=min(r1,r2).
Para isso vamos usar a existência de parametrizações locais de superfícies e o cálculo do posto do diferencial.

Passo 2

Escolha um ponto l(x0,y0r)in Mtimes N. Por definição de superfície, existem abertos UsubseteqR^p, VsubseteqR^q e parametrizações
phicolon Uto M, phi(u0)=x0,
psicolon Vto N, psi(v0)=y0,
tais que phi é homeomorfismo de classe C^r1 sobre uma vizinhança de x0 em M, e psi é homeomorfismo de classe C^r2 sobre uma vizinhança de y0 em N. Além disso, rank,Dphi(u0)=p e rank,Dpsi(v0)=q.

Passo 3

Consideremos o mapeamento
Xicolon Utimes V;longrightarrow;R^mtimesR^k, Xi(u,v)=l(phi(u),,psi(v)r)
O domínio Utimes V é aberto em R^p+q. Como phi é C^r1 e psi é C^r2, segue que Xi é de classe C^r com r=min(r1,r2).
A imagem de Xi é exatamente uma vizinhança de l(x0,y0r) em Mtimes N, e Xi é injetora e tem inversa contínua dada pelas projeções das coordenadas nas parametrizações originais. Logo Xi é um chart local de Mtimes N.

Passo 4

Vamos calcular o diferencial de Xi em (u0,v0). Se (h,k)in T(u0,v0)(Utimes V)congR^p+q, então
DXi(u0,v0)(h,k) =l(Dphi(u0)(h),,Dpsi(v0)(k)r)
Em coordenadas matrizes, essa derivada tem a forma de um bloco diagonal
Dphi(u0) & 0 [6pt] 0 & Dpsi(v0) ]

Passo 5

O posto de DXi(u0,v0) é a soma dos postos dos blocos diagonais, isto é,
rank,DXi(u0,v0) =rank,Dphi(u0) +rank,Dpsi(v0) =p+q
Como esse posto é máximo possível igual a p+q, concluímos que Xi é uma parametrização de superfície de dimensão p+q.

Resposta

O produto cartesiano Mtimes N é uma superfície diferenciável em R^mtimesR^k de dimensão p+q e classe de diferenciabilidade min(r1,r2).

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