Exercício 5. (Apostol seção 14.12 exercício 1) Uma variável aleatória tem uma função de distribuição contínua , em que
a) Determine a constante c>0 e descreva a função de densidade f.
b) Calcule a probabilidade P(X=13), P(X<13) e P(|X|<13).
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição contínua
e pede em (a) determinar a constante , e em (b) calcular , e . Vamos usar que e que, para uma variável com função de distribuição contínua e diferenciável, a densidade é quase em todo lugar.
Passo 2
Como F(t)=1 para t>1 e F(1)=ccdot1 deve coincidir com esse valor, impomos
ccdot1 = 1 Longrightarrow c=1
Passo 3
A densidade
Em podemos definir sem alterar probabilidades.
Passo 4
Para uma variável contínua vale sempre
Pl(X=x0r)=0
Portanto,
Pl(X=tfrac13r)=0
Passo 5
Para Pl(X<tfrac13r) usamos diretamente a função de distribuição: