Exercício 5. (Apostol seção 14.12 exercício 1) Uma variável aleatória tem uma função de distribuição contínua F, em que
F(t)=c 0, se t<0 c t, se 0 <= t <= 1 1, se t>1
a) Determine a constante c>0 e descreva a função de densidade f.
b) Calcule a probabilidade P(X=13), P(X<13) e P(|X|<13).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição contínua
e pede em (a) determinar a constante , e em (b) calcular , e . Vamos usar que e que, para uma variável com função de distribuição contínua e diferenciável, a densidade é quase em todo lugar.

Passo 2

Como F(t)=1 para t>1 e F(1)=ccdot1 deve coincidir com esse valor, impomos
ccdot1 = 1 Longrightarrow c=1

Passo 3

A densidade
Em podemos definir sem alterar probabilidades.

Passo 4

Para uma variável contínua vale sempre
Pl(X=x0r)=0
Portanto,
Pl(X=tfrac13r)=0

Passo 5

Para Pl(X<tfrac13r) usamos diretamente a função de distribuição:
Pl(X<tfrac13r) =Fl(tfrac13r) =1cdottfrac13 =tfrac13

Passo 6

Para Pl(|X|<tfrac13r)=Pl(-tfrac13<X<tfrac13r), note que F(t)=0 para t<0. Logo
Pl(-tfrac13<X<tfrac13r) =Fl(tfrac13r)-Fl(-tfrac13r) =tfrac13-0 =tfrac13

Resposta

a)
b) (;P\bigl(X=\tfrac13\bigr)=0,\quad P\bigl(X<\tfrac13\bigr)=\tfrac13,\quad P\bigl(|X|<\tfrac13\bigr)=\tfrac13.]

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