Exercício 4. (Apostol seção 14.8 exercício 11) O número de minutos que uma pessoa tem que esperar numa estação de trem é dado por uma variável aleatória cuja função de massa de probabilidade é dada por
p(t)=c 112, t=0,0,3,0,6,0,9,2,1,2,4,2,7,3,0 19, t=1,2,1,5,1,8 0, de outra forma
Esboce o gráfico da função de distribuição F. Seja A o evento que corresponde a pessoa a esperar um tempo >= 1 e <= 2. Seja B o evento que corresponde a pessoa a esperar um tempo >= 1 e <= 3. Calcule as seguintes probabilidades: P(A), P(B), P(A cap B), P(B mid A), P(A cup B).

Passo 1

O enunciado define uma v.a. discreta
Precisamos:
. Definir os eventos
e calcular , , , e .
Para isso usamos soma de probabilidades pontuais, interseção, união e a fórmula de probabilidade condicional

Passo 2

Ordenando os pontos de salto de F e acumulando as massas, temos
c|c|c Intervalo de x&Pontos de sa<o &F(x)=P(T<= x)hline x<0&---&0 0<= x<0,3&0&tfrac112 0,3<= x<0,6&0,3&tfrac212=tfrac16 0,6<= x<0,9&0,6&tfrac312=tfrac14 0,9<= x<1,2&0,9&tfrac412=tfrac13 1,2<= x<1,5&1,2&tfrac412+tfrac19=tfrac49 1,5<= x<1,8&1,5&tfrac59 1,8<= x<2,1&1,8&tfrac23 2,1<= x<2,4&2,1&tfrac34 2,4<= x<2,7&2,4&tfrac56 2,7<= x<3,0&2,7&tfrac1112 x>=3,0&3,0&1
O gráfico de F é uma “escada” constante em cada intervalo acima, com saltos de tamanho p(t) em cada ponto t da tabela.

Passo 3

O evento
A=1<= T <= 2
corresponde aos valores t=1,2,;1,5,;1,8, cada um com prob.\ tfrac19. Logo
P(A)=3cdot19=13
O evento
B=1<= T <= 3
inclui também t=2,1,;2,4,;2,7,;3,0 (cada um com prob.\ tfrac112), além dos de A. Assim
P(B) =3cdot19+4cdot112 =13+13 =23

Passo 4

Como Asubset B, temos
P(Acap B)=P(A)=13
A probabilidade condicional é
P(Bmid A) =P(Acap B)P(A) =tfrac13tfrac13 =1
E a união Acup B coincide com B, logo
P(Acup B)=P(B)=23

Resposta

P(A)=tfrac13, P(B)=tfrac23, P(Acap B)=tfrac13, P(Bmid A)=1, P(Acup B)=tfrac23

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