Exercício 3. (Apostol seção 14.8 exercícios 8 e 9) Seja
uma variável aleatória.
Se a imagem de
é
e a probabilidade
é proporcional a
, em que
, calcule a constante de proporcionalidade, a função de probabilidade de massa
e a função de distribuição
.
Se a imagem de
Passo 1
O enunciado diz que
é uma variável aleatória com valores em
e que
onde
é dado.
O que precisamos é achar a constante de normalização (para que a soma das probabilidades seja ), depois escrever a função massa de probabilidade
e, por fim, calcular a função de distribuição
.
O que precisamos é achar a constante de normalização (para que a soma das probabilidades seja
Passo 2
Seja
a constante de proporcionalidade tal que
Como as probabilidades devem somar
, temos
Logo,
Passo 3
Substituindo
, obtemos a função de probabilidade de massa
para :
para
e para outros valores de
temos
.
Passo 4
Agora a função de distribuição
é, para
,
- se
, então não há valores de em e logo
. - se
, escrevemos e somamos as probabilidades de até :
Resposta
A constante de proporcionalidade é
A função de massa de probabilidade é
para ,
para
e para
,
.
A função de distribuição é
A função de distribuição é