Exercício 3. (Apostol seção 14.8 exercícios 8 e 9) Seja X: S R uma variável aleatória.
Se a imagem de X é N0:=0,1,2, ldots e a probabilidade P(X=k) é proporcional a c^kk!, em que c in R, calcule a constante de proporcionalidade, a função de probabilidade de massa pX e a função de distribuição FX.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com valores em N0=0,1,2,dots e que
P(X=k) propto c^kk!,
onde cinR é dado.
O que precisamos é achar a constante de normalização (para que a soma das probabilidades seja 1), depois escrever a função massa de probabilidade pX e, por fim, calcular a função de distribuição FX(x)=P(X<= x).

Passo 2

Seja A a constante de proporcionalidade tal que
P(X=k)=A,c^kk!, kinN0
Como as probabilidades devem somar 1, temos
sumk=0^inftyP(X=k) =sumk=0^inftyA,c^kk! =Asumk=0^inftyc^kk! =A,e^c stackrel!=1
Logo,
A=e^-c

Passo 3

Substituindo A=e^-c, obtemos a função de probabilidade de massa
para kinN0:
pX(k)=P(X=k) =e^-c,c^kk!,
e para outros valores de k temos pX(k)=0.

Passo 4

Agora a função de distribuição FX(x)=P(X<= x) é, para xinR,
  • se x<0, então não há valores de X<= x em N0 e logo
    FX(x)=0.
  • se x>=0, escrevemos n=lfloor xrfloor e somamos as probabilidades de 0 até n: FX(x) =sumj=0^nP(X=j) =sumj=0^lfloor xrfloore^-c,c^jj!

Resposta

A constante de proporcionalidade é
A = e^-c
A função de massa de probabilidade é
para k in N0,
pX(k) = e^-c cdot c^kk!,
e para k notin N0, pX(k) = 0.
A função de distribuição é
FX(x) = 0, & x < 0, [6pt] e^-c sumj=0^lfloor x rfloor c^jj!, & x >= 0 ]

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